狭义相对论集合发布版

欢迎来到HowardZhangdqs的劝退小课堂。中考考完了，我又回来水一次更新了。

1.1 导言何为相对论？相对论有什么用？这篇文章中你能得到些什么？没收费的广告1.2 学习相对论时的注意事项2.1 狭义相对论的基本概念与假设2.1.1 基本假设爱因斯坦相对性原理光速不变原理2.1.2 实验的验证发射假说：光速与光源的运动无关斐索实验迈克尔逊-莫雷实验2.2 “同时”不“同时”2.2.1 情景2.2.2 结论3.1 爱因斯坦延缓（钟慢效应）3.1.1 具体推导过程3.1.2 例题例一：μ子的子生巅峰例二： $SR-71$ 黑鸟战斗机例四：跑步时相对论的运用例五：参考系例六：飞船3.2 飞船运动的例子3.2.1 情景情景一：飞船远离地球情景二：飞船返回地球情景三：收发邮件3.2.2 结论3.3 双生子佯谬论4.1 费兹杰惹—洛伦兹收缩（长度的相对性）4.1.1 情景4.1.2 结论4.1.3 例题例题一：飞船例题二：宇宙列车5.1 因果律5.1.1 情景5.1.2 例题6.1 洛伦兹速度变换6.1.1 推导过程6.1.2 完整的洛伦兹速度变换公式6.1.3 例题例题一（纯套公式）例题二（纯套公式）例题三（送分题）例题四7.1 光行差现象7.1.1 情景7.1.2 练习8.1 相对论动力学基础8.1.1 基本概念质量膨胀例题一：总能与静能智能方程质量亏损例题二：核聚变例题三：太阳例题四：烧水特别鸣谢

1.1 导言

何为相对论？

相对论（Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由爱因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。本系列随笔中我会着重介绍相对简单的狭义相对论，广义相对论的话就交给各位的大学教授啦。相对论的正确性还有待证实，但据我了解没有什么现象表明相对论是错误的，所以各位以后见到类似的文章请不必太过惊讶，毕竟不蹭流量营销号也活不下去。

相对论有什么用？

$7.9km/s$ 的速度运动，如果要给地球上的人们一个准确的定位，就需要同时用到狭义和广义相对论进行矫正

这篇文章中你能得到些什么？

谔……你能得到适合小学生（有点离谱，但我觉得不是不可能，毕竟我就是小学开始学的）和初中生学习的简单狭义相对论入门的知识。

没收费的广告

在这里，我要隆重介绍一下我们学校里教我们物理竞赛班的张老师（他自称“ZSF（张三疯）”），为了尊重他我就以后称他“ZSF”。他是我们学校的一名劳技老师，自编了许多劳技和物理教材，期中最著名的就是这本《中学物理基础教程》，有机会大家可以买（或影印）来看看，写得真的很详细，是一本很好的高中物理自学教材。老师正在签发新书

1.2 学习相对论时的注意事项

ZSF老师称这部分为“心理准备”，感觉怪吓人的。记得老师在讲第1条“相对论的某些内容……”时，我立马接了一句“是错误的”，然后就没有然后了。

具体内容：

相对论某些内容与我们日常的经验矛盾，所以大惊小怪也很正常 p.s. 比如各参考系内光速恒定（详见 2.1 狭义相对论基本假设）就很与我们日常经验矛盾是吧，同样矛盾的例子还有很多
相对论关注并测量的事件内容包括：事件发生的地点、时刻两个事件在空间与时间上的间隔 p.s. 由于没有绝对的时间和空间位置，所以我们一般研究时间间隔（或时刻）和位置的距离（或相对位置）
“狭义”相对论指处理惯性参考系
空间与时间是互相关联的。也就是说，观测到的两个事件发生的时间间隔，决定于它们的空间位置，反之也成立。即，空间距离也决定于它们发生的时间间隔，时间的流失是可变的（详见 3.1 爱因斯坦延缓（钟慢效应））
学习/理解相对论需要关注某个事件的空间位置和时间位置以及由谁去测量、如何完成 p.s. 不同参考系内的人观测到的事件时间、位置可能不同（详见 1.2 “同时”不同时）

2.1 狭义相对论的基本概念与假设

狭义相对论只适用于惯性参考系。那什么是惯性参考系呢？惯性参考系是牛顿运动定律在其中能严格成立的参考系，其实我们想象一个场景：

　　你被关在一个装在一个极为平稳的车上的小黑屋里。　　现在你的面前有很多可以进行力学试验的工具，可是你会发现，不论你做什么实验，实验结果都和你在地面上静止时做的实验结果一样。也就是说你无法确定你是在做匀速直线运动还是静止，这两种情况就是惯性参考系的两个例子。

力学相对性原理：伽利略提出（注意：不是牛顿！我个人认为牛顿这人的成就争议很大）在任意惯性参考系中，都不可能通过任何力学试验来确定该参考系处于静止或匀速直线运动。 力学定律在所有惯性系中都是等价的，具有相同的形式。 经典时空观：时间和距离 与 参考系无关，符合日常经验。

2.1.1 基本假设

爱因斯坦相对性原理

物理定律对所有惯性系都具有相同形式。如果你看过刘慈欣的《三体》，你可能会对丁仪和汪淼精神失常一样地一起搬台球桌的描述印象深刻，其中丁仪这么说：

　　应该庆祝一下，我们发现了一个伟大的定律：物理规律在时间和空间上是均匀的。人类历史上的所有物理学理论，从阿基米德原理到弦论，以至人类迄今为止的一切科学发现和思想成果，都是这个伟大定律的副产品，与我们相比，爱因斯坦和霍金才真是搞应用的俗人。

嗯，对，挺好理解的吧，那就不解释了。 (爱因斯坦：What? 俗人？早知道就不搞相对论，直接接受色列政府的总统请求就好了)

光速不变原理

$c=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{μ_0·ξ_0}}}≈2.99792458×10^8m/s$ $\left\{\begin{aligned}μ_0：& \text{真空磁导率} \\ξ_0：& \text{真空介电常数}\end{aligned}\right.$ $c$ $飞机速度-c$ ，因为在你的参考系内光速不变。其实主要是因为运动的物体时间的流逝会变慢，在1.3 爱因斯坦延缓（钟慢效应）中会详细讲解。这是个非常重要的概念，几乎可以说相对论就是基于它建立起来的（至少我是这么理解的）。

以下证明光速恒定且是宇宙中最快的速度的四个实验

2.1.2 实验的验证

发射假说：光速与光源的运动无关

$6500$ 光年。 1054年超新星在金牛座ζ星东北面爆发的现象被地球观测者观测到。

《宋会要》记载： “嘉祐元年三月，司天监言：‘客星没，客去之兆也’。初，至和元年五月，晨出东方，守天关，昼见如太白，芒角四出，色赤白，凡见二十三日。”

$0.21″/年$ $A$ $B$ $\left\{ \begin{aligned} t_A&=\displaystyle\frac{L_{地球-M1}}{c+u}\\ t_B&=\displaystyle\frac{L_{地球-M1}}{c-u}\\ u&≈1500km/s\\ \end{aligned} \right.$ $t_A-t_B=32$ $32$ $2$ 年，可见“发射假说”不成立。故：光速与光源的运动无关

斐索实验

实验本身是基于现在看来错误的以太论。

以太论是19世纪流行的一种学说，它是随着光的波动理论发展起来的。那时，由于对光的本性知之甚少，人们套用机械波的概念，想像必然有一种能够让光波传播的物质，它的名字叫“以太”。许多物理学家们相信“以太”的存在，把这种无处不在的“以太”看作绝对惯性系。

斐索实验的实验目的就是为了考察介质的运动对在其中传播的光速有何影响，从而判断以太是否被拖曳。实验具体是一光束由光源发出后，经过半透镜后分为两束，一束光与水流方向一致，另一束光则与水流方向相反并测量两束光的光速。

实验结果想必大家猜也能猜出来，两束光光速完全相同，所以得出了介质的运动对在其中传播的光速无影响的更加先进的结论。

后来斐索实验又不仅使用了水，还用了酒精和石英棒等很少的几种透明物质进行，但结论已经足以让人信服。

迈克尔逊-莫雷实验

是1887年迈克尔逊和莫雷在美国克利夫兰做的用迈克尔逊干涉仪测量两垂直光的光速差值的一项著名的物理实验。它的本意是验证“以太论”的正确性，但却验证了“以太”物质的不存在。

该实验得到了光速与参照系无关的结论，从而动摇了经典物理学基础，成为近代物理学的一个开端，在物理学发展史上占有十分重要的地位。

2.2 “同时”不“同时”

2.2.1 情景

$u$ $A$ $B$ $O'$ $O$ $O'$ $O$ $S'$ $c$ $O'A=O'B$ $A$ $B$ $S$ $c$ $O'$ $O$ $A$ $O$ $B$ $O$ $A$ $B$ $O'$ $AB$ $O$ $B$ $A$ $A$ $B$ $A$ $B$ 接收到光脉冲所需的时间是固定的，但是不同参考系内观测到的结果却不同。当然，解决这个问题我们只需要看看某个参考系中要多考虑些什么。通过对比第一个情景中的甲乙两人，不难发现小人乙多考虑了光传播所需要的时间，因为车厢足够长，光行走的时间也变得不容忽视。

2.2.2 结论

在一个参考系中，同时发生在不同地点的两个事件，在另一个参考系中可能并不同时。其原因很明显：看到“同时”依赖于光信号，但是光速并不是无穷大。

3.1 爱因斯坦延缓（钟慢效应）

3.1.1 具体推导过程

$h$ $x轴$ $S'系$ $Δt=\displaystyle\frac{2h}{c}$ $S系$ $s=\displaystyle\frac{1}{2}Δt'·c$ $s'=\displaystyle\sqrt{(\frac{1}{2}Δt·c)^2+(\frac{1}{2}Δt'·u)^2}$ $s=s'$ $\displaystyle{\frac{1}{2}Δt'·c=\sqrt{(\frac{1}{2}Δt·c)^2+(\frac{1}{2}Δt'·u)^2}}$ $\displaystyle{Δt'=\frac{2h}{c\sqrt{1-\displaystyle\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{Δt}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{u^2}{c^2}}}}$ $u<c$ $\displaystyle\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}<1$ $Δt'>Δt$ $S'系$ $S系$ $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{u^2}{c^2}}}=γ$ $\displaystyle\sqrt{1-\displaystyle\frac{u^2}{c^2}}<1$ $\displaystyle\frac{1}{γ}<1$ $γ>1$ $Δt'=γ·Δt$

$γ$ $γ$ $Δt$ 为某参考系中同一地点两事件的时间间隔，称为本征时间，有教材称原时间或固有时间（我个人还是比较喜欢称作本征时间）

3.1.2 例题

例一：μ子的子生巅峰

$μ$ $μ$ $u=0.998c$ $μ$ $2.15×10^{-6}$ $μ$ $9km$ $d=ut=0.998×(3×10^8)×2.15×10^{-6}=643.71m$ $μ$ $700m$ $0.998c$ $μ$ $Δt_0=2.15×10^{-6}$ $Δt'=γ·Δt_0=\displaystyle\frac{Δt_0}{\sqrt{\frac{u^2}{c^2}}}=\displaystyle\frac{2.15×10^{-6}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}≈3.4×10^{-6}$ $d=u·Δt_0=0.998×(3×10^8)×3.4×10^{-5}=10179.6m$ $μ$ $2.15×10^{-6}s$ 内还有机会从大气层出发，来到地球表面，达到子生巅峰！~~多么励志的故事啊！一定要用来教育小朋友~~

由上文可知，运动的钟走的越慢，那运动的我们手上的表肯定也越慢啦。一千米的成绩应该以我们手上的表为准才对（毕竟要以学生的参照系为准嘛）。下面的这个情景就能让你深刻体会到你的表慢了多少。

$SR-71$ 黑鸟战斗机

$SR-71$ $u=900m/s$ $Δt_0$ $Δt$

$\left\{ \begin{aligned} Δt&=γ·Δt_0\\ Δt&-Δt_0=1\\ \end{aligned} \right.$

$\begin{aligned} ⇒Δt&=γ·(Δt-1)\\ ⇒Δt&=\displaystyle\frac{1}{γ-1}≈2.22×10^{11}≈7046年 \end{aligned}$

不错不错，也就七千多年嘛（假设有一群人，个个都能活到100岁，他们一个死了另一个紧接着出生，也就70个人就能解决了）。

例四：跑步时相对论的运用

废话 $γ=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$ $1$ $γ=1$ $Δt=Δt_0$ 。

$v=\displaystyle\frac{s}{t}=\displaystyle\frac{1000m}{270s}≈4m/s$ $\begin{aligned}γ&=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\&=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4^2}{c^2}}}\end{aligned}$ 由于普通计算器精度不高，于是我就用Google Chrome的Console计算。~~虽然精度也不高~~ 不多不多！多乎哉？不多也。

$3×10^8m/s$ ！）。

例五：参考系

$Δt$ $Δt=γ·Δt_0$ $\begin{aligned}γ=\displaystyle\frac{Δt}{Δt_0}&=\frac{5}{4}\\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}&=\frac{5}{4}\end{aligned}$ $⇒u=0.6c$

例六：飞船

$u=0.8c$ $12s$ 。问飞船上宇航员发出这两个光信号的时间间隔为多少？ $S系$ $S'系$ $Δt_0$ $S系$ $Δt=γ·Δt_0$ $Δt$ $u·Δt$ $\displaystyle\frac{u·Δt}{c}$ $\begin{aligned} 12&=Δt+\displaystyle\frac{u·Δt}{c}\\ ⇒12&=γ·Δt_0+\frac{u}{c}·γ·Δt_0\\ Δt_0&=\frac{12}{\displaystyle(1+\frac{u}{c})·γ}=\displaystyle\frac{12}{(1+\displaystyle\frac{u0.8c}{c})·\frac{1}{0.6}}=4s \end{aligned}$

3.2 飞船运动的例子

正式讨论双生子详谬论之前我们先看几个情景：

3.2.1 情景

情景一：飞船远离地球

$u=0.8c$ $4s$ $Δt_0=4s$ $γ$ $γ$ $γ=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{1}{0.6}$ $Δt=Δt_0·γ$ $\begin{aligned} Δt'&=Δt+\displaystyle\frac{u·Δt}{c}\\ &=Δt·(1+\frac{u}{c})\\ &=Δt·(1+0.8)\\ &=Δt_0·γ·1.8\\ &=12s \end{aligned}$

情景二：飞船返回地球

$u=0.8c$ $4s$ $Δt_0=4s$ $γ=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{1}{0.6}$ $\begin{aligned} Δt&=Δt_0·γ\\ Δt'&=Δt-\frac{u·Δt}{c}\\ &=Δt·(1-\frac{u}{c})\\ &=Δt·(1-0.8)\\ &=Δt_0·γ·0.2\\ &≈1.33s \end{aligned}$

情景三：收发邮件

$u=0.8c$ $8$ $\displaystyle\frac{2×8光年}{0.8c}=20年$ $\displaystyle\frac{20年}{γ}=\frac{20年}{\frac{1}{0.6}}=12年$ $c$ $Δt+\displaystyle\frac{Δt·u}{c}=Δt_0·γ·(1+\frac{u}{c})=3·Δt_0=3年$ $Δt-\displaystyle\frac{Δt·u}{c}=Δt_0·γ·(1-\frac{u}{c})=\frac{1}{3}·Δt_0=\frac{1}{3}年$ 飞船离开地球时：飞船钟：6年后到达该天体地球钟：10年后到达该天体。如果这是地球上有一个可见光超级望远镜，则可以在18年后“观测”到飞船达该天体，此时共接收到6封E-mail，能看到宇航员在10年时间内缓慢变老6岁。飞船返回地球时：飞船钟：6年后到达地球地球钟：10年后到达该天体。如果这是地球上有一个可见光超级望远镜，则可以在2年后“观测”到飞船达该天体（其实也是这个时间到达地球），此时仍然共接收到6封E-mail，能看到宇航员在2年时间内快速变老6岁。不过不管怎么说，宇航员变老的速度都比地球上慢。所以想要永葆青春的同学，懂了吧。 $\frac{1}{3}$ 年接收一封邮件。按照飞船钟，飞船单程6年，去时收到2封，回程收到18封

3.2.2 结论

其实能发现：这类题型就类似小学奥数中的相遇追及问题，并没有我们想象中那么复杂。

再深入分析后你能发现：运动物体的视觉形象和测量形象“钟慢”（即爱因斯坦延缓）这里要说明一下：视觉形象即指观测者观测到的不做任何计算的现象；测量形象大概就是指有一排非常精确的静止的钟排在物体将要经过的轨迹上，在物体经过钟时的读数；钟慢指运动物体参照系内钟比静止钟走的慢。构成“视觉形象”的是来自不同时空点，被同一名观测者接收的光信号，会受到光传播的音响。所以会出现飞船离去时视觉形象比测量形象慢，返回时视觉形象比测量形象快的现象。

好了，扯了那么多接下来我们正式讲一下双生子详谬论

3.3 双生子佯谬论

其实双生子佯谬论并没有名字看上去那么诡异，只是一个在钟慢效应的基础上出现的一个有意思的现象。它是由法国物理学家P．朗之万用双生子实验来质疑狭义相对论的时间膨胀效应的思想实验。原本是指有一对双胞胎，其中一个乘坐光速飞船去外太空旅行，几十年后返回地球，当兄弟两人再相见时，在地球上等的那人已经白发苍苍，但是太空旅行的那人依然年轻。

这其实没啥好奇怪的，但对几百年前的人来说就是胡说，在学习了狭义相对论后我相信你们就不会再对着那些营销号发出wow之类的感叹了。

4.1 费兹杰惹—洛伦兹收缩（长度的相对性）

首先我们思考一下：测量一个高速运动的物体，你应该怎么做。答案可能有两种第一种：追上去量，当你和待测物体的相对速度为0时，就能非常容易的测量出该物体长度。第二种：当运动物体经过静止尺时，读出读数。但是仔细一想不难发现：如果运动物体长度的确会缩短的话，第一种方法中追上去量，用于测量的尺也会缩短，无法达到实验目的。所以说最合理的方法是，记录下物体两端“同时”的位置，然后再测量他们的距离

4.1.1 情景

$S'系$ $S系$ $u$ $A'$ $B'$ $A'$ $S'$ $Δt_0=\displaystyle\frac{2h}{c}$ $S$ $l+u·Δt_1=c·Δt_1⇒Δt_1=\displaystyle\frac{l}{c-u}$ $l-u·Δt_2=c·Δt_2⇒Δt_2=\displaystyle\frac{l}{c+u}$ $S$ $Δt=Δt_1+Δt_2=\displaystyle\frac{2cl}{c^2-u^2}$ $Δt_0$ $Δt=Δt_0·γ\\ \Rightarrow\displaystyle\frac{2cl}{c^2-u^2}=\frac{2l_0}{c}·γ\\ \Rightarrow\displaystyle\frac{c^2}{c^2-u^2}·l=l_0·γ\\ \Rightarrow\frac{1}{1-\frac{u^2}{c^2}}·l=l_0·\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\ \Rightarrow l=l_0·\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}=\frac{l_0}{γ}$

4.1.2 结论

$S系$ $S'系$ $l_0$ 为相对参考系静止的尺的度和本征时间一样，我们定义它为本征长度，或静长其次，由相对性原理，运动的尺测量静止的物体（当然没人会这么干），测量结果会比静止时长学会了那我们就做几道练习加深记忆吧

4.1.3 例题

例题一：飞船

$u=0.6c$ $γ$ $γ=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{1}{0.8}=1.25$ $S'系$ $l'=\displaystyle\frac{l_0}{γ}=\frac{6}{1.25}=4.8光年$ $S'系$ $Δt_0=\displaystyle\frac{4.8光年}{0.6c}=8年$ $S系$ $Δt=\displaystyle\frac{6光年}{0.6c}=10年$

例题二：宇宙列车

~~（废话，不在太空中在哪里？）~~ $l_0=3×10^8m$ $0.75秒$ ，求列车的相对速度这道题（我想出来）有三种方法，但只会详细讲两种 $S系$ $0.75秒$ $Δt_0=0.75=\frac{3}{4}$ $l=\displaystyle\frac{l_0}{γ}=l_0·\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$ $\displaystyle\frac{l_0·\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{u}=\frac{3}{4}秒$ $⇒u=0.8c$

$S'$ $Δt=Δt_0·γ=\displaystyle\frac{Δt_0}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$ $\displaystyle\frac{l_0}{u}=\frac{Δt_0}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$ $⇒u=0.8c$ 只要单纯地带公式就行了，感觉很简单是不是？

第三种方法就是使用间隔时间进行计算，在这就不加赘述了。

5.1 因果律

在本章中，我们会讨论一下因果关系，我们知道事件发生往往是先发生“因”，后发生“果”，但是相对论似乎给我们了一个因果倒置的可能性。本章中我们会探讨一下因和果之间的关系，并提及一些你可能相当感兴趣的时间反演（时间倒流）的问题

5.1.1 情景

$100m$ $u=0.6c$ $0.125μs$ $S系$ $S'系$ $\begin{aligned} &S系中\;&x_A=0\qquad&t_A=0\\ &S'系中\;&x_A'=0\qquad&t_A'=0 \end{aligned}$ $\begin{aligned} &S系中\; &x_B&\qquad &t&_B=0.125×10^{-6}s\\ &S'系中\; &x_B'&=100 \qquad &t&_B' \end{aligned}$

整理一下得到这样的一张表：

	$S系（地面）$	$S'系（车厢）$
A开枪	$x_A=0\qquad t_A=0$	$x_A'=0\qquad t_A'=0$
B开枪	$x_B\qquad t_B=0.125×10^{-6}s$	$x_B'=100\qquad t_B'$

$u=0.6c\qquad γ=\displaystyle\frac{1}{0.8}$

$\begin{aligned} t_B&=(t_B'+\displaystyle\frac{ux_B'}{c^2})·\frac{1}{0.8}\\ 0.125×10^{-6}&=(t_B'+\displaystyle\frac{0.6c×100}{c^2})·\frac{1}{0.8} \end{aligned}$

$⇒t_B'=-0.1×10^{-6}s=-0.1μs$

故乘客观测到B先于A 0.1μs开枪

$S系$ $t_B>t_A$ ）又能得到这样一张表：

	$S系$	$S'系$
A事件	$x_A\qquad t_A$	$x_A'\qquad t_A'$
B事件	$x_B\qquad t_B$	$x_B'\qquad t_B'$

$S'系$ $t_A'=(t_A-\displaystyle\frac{u_{x_A}}{c^2})·γ$ $t_B'=(t_B-\displaystyle\frac{u_{x_B}}{c^2})·γ$ $S'$ $Δt'=t_B'-t_A'=[(t_B-t_A)\displaystyle\frac{u(x_B-x_A)}{c^2}]·γ$ $t_A-t_B<[(t_B-t_A)\displaystyle\frac{u(x_B-x_A)}{c^2}]$ $Δt'<0$ 因果就倒置了。看到这里，想必一些~~头脑简单~~的同学十分激动，~~正想着如何回到过去挽回一些什么吧。~~ 但 $v=\displaystyle\frac{x_B-x_A}{t_B-t_A}$ $t_A-t_B<\displaystyle\frac{u}{c^2}(x_B-x_A)$ $⇒\displaystyle\frac{u}{c^2}·\frac{x_B-x_A}{t_B-t_A}>1$ $⇒\displaystyle\frac{u·v}{c^2}>1$ $u>c$ $v>c$ 就能实现时间倒流了！是不是感觉很激动？！但是仔细一想，发现两个条件都不能实现。所以还是必然是前因后果，保证因果律的绝对性。

但是为什么前面一个例题中发生了因果倒置呢？当然是因为两件事情没有因果关系啊。讲完了这些，我们再来做几道与因果律关系不大的练习夯实你的学习成果吧。

5.1.2 例题

$l_0=10^3cm$ $u=0.6c$ $u=0.6c\qquad γ=\displaystyle\frac{1}{0.8}$ $S$ $Δt=0$ $S'$ $\begin{aligned} t_E'&=(t_E-\displaystyle\frac{u·x_E}{c^2})·γ\\ t_W'&=(t_W-\displaystyle\frac{u·x_W}{c^2})·γ\\ Δt'&=t_W'-t_E'\\ &=[(t_W-t_E)+\displaystyle\frac{u(x_E-x_W)}{c^2}]·γ\\ &=(0+\displaystyle\frac{u·2l_0}{c^2})·γ\\ &=5×10^{-3}s\\ &=5ms \end{aligned}$ （毫秒） ∴ 先到E，后到W

6.1 洛伦兹速度变换

6.1.1 推导过程

$S$ $S'$ $S$ $u$ $t=t'=0$ $O$ $O'$ $S'$ $x'$ $O'$ $v'$ $t'$ $x'=v't'$ $S$ 系中，该物体的运动速度为什么？ $S$ $\begin{aligned} x&=(v'·t'+u·t')·γ=(v'+u)·t'·γ\\ t&=(t'+\displaystyle\frac{u}{c^2}x')·γ\\ &=(t'+\displaystyle\frac{u}{c^2}v'·t')·γ\\ &=(1+\displaystyle\frac{u}{c^2}v')·t'·γ \end{aligned}$ $v=\displaystyle\frac{x}{t}=\frac{v'+u}{1+\displaystyle\frac{u}{c^2}v'}$ 这就是洛伦兹速度变换逆变换 正变换 $v'=\displaystyle\frac{x'}{t'}=\frac{v'-u}{1-\displaystyle\frac{u}{c^2}v'}$ $u\ll c$ $\ll$ $\displaystyle\frac{u}{c^2}$ $0$ $\left\{ \begin{matrix} v=v'+u \\ v'=v-u \end{matrix} \right.$ 就是我们了解的伽利略变换体系了那我们就不啰嗦了，直接给出

6.1.2 完整的洛伦兹速度变换公式

$S'系$ $S系$ $x轴$ $u$ 运动）

\begin{aligned} &正变换\left\{ \begin{matrix} \begin{aligned} &v_x'=\frac{v-u}{1-\displaystyle\frac{u}{c^2}v_x} \\\\ &v_y'=\frac{v_y}{1-\displaystyle\frac{u}{c^2}v_x}·\frac{1}{γ} \\\\ &v_z'=\frac{v_z}{1-\displaystyle\frac{u}{c^2}v_x}·\frac{1}{γ} \end{aligned} \end{matrix} \right.\\\\ &逆变换\left\{ \begin{matrix} \begin{aligned} &v_x=\frac{v'+u}{1+\displaystyle\frac{u}{c^2}v'} \\\\ &v_y=v_y'·(1-\frac{u}{c^2}v_x)·γ \\\\ &v_z=v_z'·(1-\frac{u}{c^2}v_x)·γ \end{aligned} \end{matrix} \right. \end{aligned}

既然得到了这惊天地泣鬼神的神奇公式，那我们就做几道例题，夯实你的学习成果吧

6.1.3 例题

例题一（纯套公式）

这道题是我很早以前就写好了的，并向我的一位同学讲过写相对论随笔的设想，他表示如果写到这里时知名度较高的话可以打一点广告，以下摘自他的手稿（很遗憾这位同学已经转到我们学校的其他校区了，可能看不到这篇文章了）：

$u=0.6c$ 相对地面飞行，XX快递，使命必达。飞机上，一XX挖掘机公司职员，就是专业，向前扔出一瓶XX饮料。XX饮料，一天一罐，让自然的智慧充满聪明的你…… ……emm……

$u=0.6c$ $0.8c$ ，求地面观测到的子弹速度。解：像往常一样列一张表：

地面S系	飞船S'系	$u=0.6c$
$v$	$v'=0.8c$

$v=\displaystyle\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}v'}=\frac{0.8c+0.6c}{1+\frac{0.6c}{c^2}·0.8c}=0.946c$

例题二（纯套公式）

$v_甲=0.6c$ $v_乙=0.8c$ $v'=\displaystyle\frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}·v}=\frac{(-0.8c)-(0.6c)}{1-\frac{0.8c}{c^2}·(0.8c)}≈-0.946c$

例题三（送分题）

$u=0.6c$ $c$ $S'系$ $v'=c$ $v‘’=-c$ $S系$ $v=\displaystyle\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}·v'}=c$

$v=\displaystyle\frac{v''+u}{1+\frac{u}{c^2}·v''}=-c$ 咳咳，所以这个公式~~是正确的~~至少没有与相对论本身相矛盾

例题四

$0.8c$ $0.6c$ 的速度向西运动 $S系$ $v_x=0$ $v_y=0.8c$ $u=-0.6c$ $S'系$ $v_x'=\displaystyle\frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}v_x}=\frac{0-(-0.6c)}{1-\frac{-0.6c}{c^2}·0}=0.6c$ $v_y'=\displaystyle\frac{v_y}{1-\frac{u}{c^2}v_x}·\frac{1}{γ}=0.64c$ $v'=\displaystyle\sqrt{v_x'^2+v_y'^2}≈0.877c$

7.1 光行差现象

首先，什么是光行差？

光行差（或称为天文光行差、恒星光行差）是指运动的观测者观察到光的方向与同一时间同一地点静止的观测者观察到的方向有偏差的现象。光行差现象在天文观测上表现得尤为明显。由于地球公转、自转等原因，地球上观察天体的位置时总是存在光行差，其大小与观测者的速度和天体方向与观测者运动方向之间的夹角有关，并且在不断变化。 ——摘自百度百科

感觉有点看不懂是吧，它的意思就差不多是在高速运动时你会看到些什么。如果你看过（并且看完了）《三体》，你可能会记得有这么一个片段：

　　突然，宇宙发生了剧变，前方的所有星星都朝航向所指的方向聚集，仿佛这一半宇宙变成了一个黑色的大碗，群星都在向碗底滑落，很快在正前方聚成密密的一团，已经分辨不出单个的星星，它们凝成一个光团，像一块巨大的蓝宝石发出璀璨的蓝光。不时有零星的星星从光团中飞出，划过漆黑的空间快速向后飞去，它们的色彩不断变化，从蓝变成绿，再变成黄色，当它越过飞船后，则变成了红色。在飞船的后方，二维太阳系和群星一起凝聚成红色的一团，像在宇宙尽头熊熊燃烧的簧火。

但是这段到底科学性高不高呢？我们通过计算帮助你~~完全不能~~搞明白到底发生了一些什么。像往常一样，我们通过一道例题来引入

7.1.1 情景

~~夜空中最亮的~~ $u=0.8c$ ，平行于地面飞行，宇航员观测到的星光方位在哪里？ $S系$ $v_x=0\qquad v_y=-c$ $S'系$ $v_x'=\displaystyle\frac{v_x-u}{1-\frac{v_x}{c^2}u}·\frac{1}{γ}=\frac{0-0.8c}{1-0}=-0.8c$ $v_y'=\displaystyle\frac{v_y}{1-\frac{v_x}{c^2}u}·\frac{1}{γ}=\frac{-c}{1-0}·0.6=-0.6c$ $θ$ $\tan{θ}=\displaystyle\lvert \frac{v_x'}{v_y'}\rvert =\frac{4}{3}$ $∴θ≈53°$ 这还是很不好理解，不要紧，我们想象一个场景：我们假设你的眼睛只能看到正前方的一个点（像一个筒一样），如果要让竖直上方的一颗星的星光射到我的眼睛里，我们需要抬起头，让眼睛正对着星星。但是如果我们以极快的速度跑起来，光子在落到筒底时会撞在筒壁上，这样我们就看不到这个光子了。为了让光子竖直下落到筒底，我们需要让筒略略倾斜。还不能理解我就不解释了，自己百度去。

所以开始时我们提到的《三体》的片段描写的还是相当正确的，至于星群的颜色变化主要是因为哈勃红移。（看来某些科幻小说还是挺有科学性的）（我是指某科幻电影乱改编让没太大科学问题的原著被喷的很惨）

7.1.2 练习

$u=0.99c$ $150°$ 。问：宇航员观测到这颗星在何处？ $S系$ $v_x=\frac{\sqrt{3}}{2}c\qquad v_y=-\frac{1}{2}c$ $S'系$ $v_x'= ？\qquad v_y'= ？$ $v_x'=\displaystyle\frac{v_x-u}{1-\frac{v_x}{c^2}·u}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}c-(0.99c)}{1-\displaystyle\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}c}{c^2}·0.99c}≈-0.87c$ $v_y'=\displaystyle\frac{v_y}{1-\frac{v_x}{c^2}u}·\frac{1}{γ}≈-0.49c$ $\tan{θ}=\displaystyle\lvert \frac{v_x'}{v_y'}\rvert$ $θ≈60.6°$

8.1 相对论动力学基础

但在本章中，我会介绍著名的质能方程及其计算与运用。那我们就直接开始吧。

8.1.1 基本概念

$m_0$ 。

质量膨胀

$a$ $a'$ $m_0$ $a$ $S系$ $a'$ $S'系$ $S'系$ $S系$ $x$ $v$ $a'$ $S系$ $m$ $a$ $S'系$ $m$ $S'系$ $u'$ $S系$ $u$ $S系$ $P=m·v=(m+m_0)u$ $S'系$ $P=-m·v=(m+m_0)u'$ $u'=-u$ $v_x=\displaystyle\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}v'}$ $(\displaystyle\frac{v}{u})^2-2\frac{v}{u}+(\frac{v}{c})^2=0$ $\displaystyle\frac{v}{u}=1±\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ $v>u$ $\displaystyle\frac{v}{u}=1+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ $∴m=\displaystyle\frac{m_0}{\frac{v}{u}-1}=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=m_0·γ$ 我们整合一下，去掉复杂的背景：

\begin{aligned} P&=mv=\frac{m_0\Delta x}{\Delta t_0}\\ &=\frac{m_0\Delta x}{\Delta t} \times \frac{\Delta t}{\Delta t_0}\\ &=\frac{m_0\Delta x}{\Delta t}·γ\\ &=m_0·γ \times \frac{\Delta x}{\Delta t}\\\ &=m_0·γ·v\\\\ m&=m_0·γ \end{aligned}

搞明白了我们就做一道题试试

例题一：总能与静能

某粒子，其总能是静能的3倍，求该粒子的速度。解：

\begin{aligned} mc^2&=3m_0c^2\\ m&=3m_0\\ m_0γ&=3m_0\\ γ&=3\\ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}&=3\\ u&≈0.943c \end{aligned}

智能方程

推导过程涉及部分微积分内容，看不懂的自觉绕行

\begin{aligned} E_k&=\int_{0}^{x}Fdx\\\\ Ft&=\int_{0}^{x}\frac{d}{dt}(mv)d(vt)=\int_{0}^{t}\frac{d}{dt}(mv)vdt\\ &=\int_{0}^{mv}\frac{dt}{dt}vd(mv)=\int_{0}^{v}vd\left(\frac{m_0v}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}}}\right)\\ &=\left[\frac{m_0v^2}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}}}\right]_{0}^{v}-\int_{0}^{v}\frac{m_0v}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}}}dv\\ &=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{v^2}{c^2}}}-m_0c^2\\ &=mc^2-m_0c^2\\\\ E_k&=E-E_0=mc^2-m_0c^2\\ E_{\ }&=mc^2\\ E_0&=m_0c^2 \end{aligned}

$E_0=m_0c^2$ $E_k=mc^2-m_0c^2$ $E_{\ }=E_0+E_k=mc^2$

质量亏损

$E_{初}=m_{0初}·c^2+E$ $E_{末}=m_{0末}·c^2+E'$ $E$ $E'$ 为该物体所含的各种能量，如内能、化学能、机械能等等）由于能量守恒，可得：

\begin{aligned} E_{初}&=E_{末}\\ E'-E&=m_{0初}·c^2-m_{0末}·c^2\\ \Delta E&=\Delta m·c^2 \end{aligned}

你可能有了解到，理论上，核聚变反应的质能转化率为0.7%，核裂变则为0.135%，而正反物质湮灭则是100%，就是指被转化的质量占物体总质量的百分比。

例题二：核聚变

核裂变有60多个的可能的方程式，我们这里列举一个可能的方程式计算：

{^{235}_{\ 92}}\text{U}+{^{1}_{0}}\text{n}\rightarrow{^{141}_{\ 56}}\text{Ba}+{^{92}_{36}}\text{Kr}+3{^{1}_{0}}\text{n}

$1mol\ {^{235}_{\ 92}}\text{U}$ $1mol$ 各物质的质量

\underbrace{{^{235}_{\ 92}}\text{U}+{^{1}_{0}}\text{n}}_{236.133克}\rightarrow\underbrace{{^{141}_{\ 56}}\text{Ba}+{^{92}_{36}}\text{Kr}+3{^{1}_{0}}\text{n}}_{235.918克}

$\Delta m=0.215\text{克}$ $\Delta E=\Delta m·c^2=1.935\times 10^{13}\text{J}$ $650$ 吨煤炭放出的能量吧（确实不太多）

例题三：太阳

$3.8\times 10^{36}\text{J}$ $\Delta m=\displaystyle\frac{\Delta t}{c^2}=\frac{3.8\times 10^{36}}{\left (3\times 10^8\right )^2}=4.2\times 10^9\text{kg}$ $420$ $50$ 亿年才会烧完

例题四：烧水

$5kg$ $20℃$ $100℃$ $\Delta m$ $\Delta m·c^2=4200\times 5\times 80$ $\Delta m=1.87\times 10^{-11}kg$ $0.187$ 微微克……

特别鸣谢

赵峥、刘文彪教授（北京师范大学物理系教授）：参考了他们的《广义相对论基础》

【感谢以下我就读初中（上海市世界外国语中学）的老师和同学】张老师（劳技老师）：教授我几乎所有的理论和知识；我本人（2017级原双语二班、双语班）：全是我一个人写的（包括画图）；海客谈瀛洲（2017级原双语2班、Pre DP2班）：提供大量资金与精神上的帮助；江同学（2017级原双语2班、A-level）：提供了一道例题的思路

【感谢以下同学一直陪伴我上完初中的物理竞赛班】吴同学（自称“吴老板”）、呙同学、蔡同学、陈同学（2017级3班）；唐同学（2017级1班）

【感谢以下在公交车上提供过宝贵建议的同学】吴同学（自称“吴老板”）、蔡同学、georgy&葛同学（2017级3班）；唐同学（2017级1班）；郝同学（2017级5班）

【感谢其他的一些提供过帮助的同学和老师】何老师（物理老师）；范老师（化学老师）；勾同学、马同学、黄同学、李同学、俞同学（2017级原双语二班、双语班）；周同学、胡同学（2017级原双语3班、双语班）；余同学（2017级原双语4班、双语班）；蔡同学（2017级2班）付同学（2019级2班）；刘同学（2015级2班）

【以下是其他一些提供过帮助的人】倪同学（上海市田林第三中学）：催更（当他看完我当时新写完的 5.1 因果律，让我把剩下的几章全部赶完）；周同学（上海市民办华育中学）：一起探讨了前四章的内容；杨同学（上海市西南位育中学）：没什么实质性的帮助

【以下是引用的相关内容】引用了刘慈欣的著作《三体》中的几段话

【以下是用到的一些软件，推荐给大家】 Typora（即时渲染超简洁markdown编辑器） OneNote（微软旗下的笔记本（其实并不怎么好用）） KingDraw（全免费化学作图与分子模型渲染软件（结果我用它来进行物理作图））