欢迎来到HowardZhangdqs的劝退小课堂。这是狭义相对论从入门到入土（建议初一以上）系列的第二个集合版，修订了大量之前未发现的错误，如果大家在阅读时发现了错误欢迎联系我 zjh@shanghaiit.com

1.1 导言

何为相对论？

相对论（Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由爱因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。本系列随笔中我会着重介绍相对简单的狭义相对论，广义相对论的话就交给各位的大学教授啦。 相对论的正确性还有待证实，但据我了解至今没有什么现象和理论能充分表证明相对论体系是错误的，所以各位同学以后见到类似的文章也不必太过惊讶，毕竟不蹭流量营销号也活不下去。

相对论有什么用？

相对论主要在两个方面有用：一是与光速可比的高速运动（其实低速也行，就是效果着实不明显），一是强引力场。 当你在学牛顿三大定理时，你可能发现，用牛顿力学的那套理论来算，超光速只需要不断施加一个力就能实现，但是可能不停的有人告诉你：光速是宇宙中的最快速度。相对论就给了这个现象一个很好的解释：牛顿力学只适用于低速中，而比如在地球外围的卫星以$7.9km/s$$7.9km/s$的速度运动，如果要给地球上的人们一个准确的定位，就需要同时用到狭义和广义相对论进行矫正

这篇文章中你能得到些什么？

谔……你能得到适合小学生（有点离谱，但我觉得不是不可能，毕竟我就是小学开始学的）和初中生学习的简单狭义相对论入门的知识。

网络上相关的科普文章大多仅仅阐释现象，本文会结合大量计算以充分证明现象的合理性（计算所使用的数学工具大多数同学在小学基本已经学过了，所以我认为让小学生来了解一点也不是很过分）

1.2 学习相对论时的注意事项

怎么说呢？这段叫做心理准备也不为过吧

1. 相对论某些内容与我们日常的经验矛盾，所以大惊小怪也很正常 p.s. 比如各参考系内光速恒定（详见 2.1 狭义相对论基本假设）就很与我们日常经验矛盾是吧，同样矛盾的例子还有很多
2. 相对论关注并测量的事件内容包括： 事件发生的地点、时刻 两个事件在空间与时间上的间隔 p.s. 由于没有绝对的时间和空间位置，所以我们一般研究时间间隔（或时刻）和位置的距离（或相对位置）
3. “狭义”相对论指处理惯性参考系
4. 空间与时间是互相关联的。也就是说，观测到的两个事件发生的时间间隔，决定于它们的空间位置，反之也成立。即，空间距离也决定于它们发生的时间间隔，时间的流失是可变的（详见 3.1 爱因斯坦延缓（钟慢效应））
5. 学习/理解相对论需要关注某个事件的空间位置和时间位置以及由谁去测量、如何完成 p.s. 不同参考系内的人观测到的事件时间、位置可能不同（详见 1.2 “同时”不同时）
   

2.1 狭义相对论的基本概念与假设

1. 狭义相对论只适用于惯性参考系。 那什么是惯性参考系呢？ 惯性参考系是牛顿运动定律在其中能严格成立的参考系，其实我们想象一个场景：

　　你被关在一个装在一个极为平稳的车上的小黑屋里。 　　现在你的面前有很多可以进行力学试验的工具，可是你会发现，不论你做什么实验，实验结果都和你在地面上静止时做的实验结果一样。也就是说你无法确定你是在做匀速直线运动还是静止，这种情况就是惯性参考系的一个例子。

惯性参考系于1885年由德国物理学家提出，提出者并非牛顿，但而由于适用于牛顿力学，人们往往认为是牛顿提出。（我个人认为牛顿这人的成就争议很大） 在任意惯性参考系中，都不可能通过任何力学试验来确定该参考系处于静止或匀速直线运动。 力学定律在所有惯性系中都是等价的，具有相同的形式。 这就是经典时空观：时间和距离与参考系无关，比较符合日常经验。

2.1.1 基本假设

爱因斯坦相对性原理

物理定律对所有惯性系都具有相同形式。

如果你看过刘慈欣的《三体》，你可能会对丁仪和汪淼精神失常一样地一起搬台球桌的描写有点印象，搬完台球桌后丁仪这么说：

　　应该庆祝一下，我们发现了一个伟大的定律：物理规律在时间和空间上是均匀的。人类历史上的所有物理学理论，从阿基米德原理到弦论，以至人类迄今为止的一切科学发现和思想成果，都是这个伟大定律的副产品，与我们相比，爱因斯坦和霍金才真是搞应用的俗人。

嗯，对，挺好理解的吧，那就不解释了。 (爱因斯坦：What? 俗人？早知道就不搞相对论，直接接受色列政府的总统请求就好了)

光速不变原理

根据麦克斯韦的电磁理论，在任何参考系中，真空光速$c={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\mu }_0·{\xi }_0}}\approx 2.99792458\times {10}^{8}m/s}$$c=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{μ_0·ξ_0}}}≈2.99792458×10^8m/s$ 不变，其中：$\begin{array}{c}\{\begin{array}{rl}{\mu }_0：& \text{真空磁导率}\\ {\xi }_0：& \text{真空介电常数}\end{array}\end{array}$$\left\{\begin{aligned}μ_0：& \text{真空磁导率} \\ξ_0：& \text{真空介电常数}\end{aligned}\right.$

需要解释一下，如你在一架极快的飞机上测量光速，所得的数值依然等于$c$$c$，而不是$\text{飞}\text{机}\text{速}\text{度}-c$$飞机速度-c$，因为在你的参考系内光速不变。产生这个现象主要是因为运动的物体时间的流逝会变慢，在1.3 爱因斯坦延缓（钟慢效应）中会详细讲解。 这是个非常重要的概念，几乎可以说整个狭义相对论理论就是基于它建立起来的（至少我是这么理解的）。

以下证明光速恒定且是宇宙中最快的速度的四个实验

2.1.2 实验的验证

发射假说：光速与光源的运动无关

M1星云（现为蟹状星云），距地球约$6500$$6500$光年。 公元1054年，超新星在金牛座$\zeta$$\,ζ\,$星东北面爆发的现象被地球观测者观测到。

《宋会要》记载：

嘉祐元年三月，司天监言：“客星没，客去之兆也”。初，至和元年五月，晨出东方，守天关，昼见如太白，芒角四出，色赤白，凡见二十三日。

该爆发遗骸（蟹状星云）膨胀率为$0.21″/\text{年}$$0.21″/年$ 分析：抛射物向各方向飞射 若“发射假说”成立，则$A$$\,A$、$B$$B\,$所发的光，则到达地球时间可得方程组：

解得：$t_A-t_B=32$$t_A-t_B=32$年 所以若发射假说成立，则蟹状星云可被观测时长约为$32$$32$年 但是蟹状星云实际只亮了$2$$2$年，可见“发射假说”不成立。 故：光速与光源的运动无关
下面介绍的两个实验本身其实略微复杂，有兴趣的同学可以稍作了解，我只放一点相关的内容。

斐索实验

斐索实验本身是基于现在看来错误的以太论。

以太论是19世纪流行的一种学说，它是随着光的波动理论发展起来的。那时，由于人们对光的本质知之甚少，套用机械波的概念，想像必然有一种能够让光波传播的物质，取名叫“以太”。许多物理学家们相信“以太”的存在，把这种无处不在的“以太”看作绝对惯性系。

斐索实验的实验目的就是为了考察介质的运动对在其中传播的光速有何影响，从而判断以太是否被拖曳。 实验具体是一光束由光源发出后，经过半透镜后分为两束，一束光与水流方向一致，另一束光则与水流方向相反，并测量两束光的光速。

实验结果想必大家猜也能猜出来，两束光光速完全相同，所以得出了介质的运动对在其中传播的光速无影响的更加先进的结论。

后来斐索实验又不仅使用了水，还用了酒精和石英棒等很少的几种透明物质进行实验，但结论已经足以让人信服。

迈克尔逊-莫雷实验

是1887年迈克尔逊和莫雷在美国克利夫兰做的用迈克尔逊干涉仪测量两垂直光的光速差值的一项著名的物理实验。它的本意是验证“以太论”的正确性，但却验证了“以太”物质的不存在。

该实验得到了光速与参照系无关的结论，从而动摇了经典物理学基础，成为近代物理学的一个开端，在物理学发展史上占有十分重要的地位。

2.2 “同时”不“同时”

2.2.1 情景

我们先想象情景： 从前有一爱因斯坦车厢（即一足够长的车厢，运动速度你想是啥就是啥），在水平地面上以相对地面速度$u$$u$向右运动，车头为$A$$A$，车尾为$B$$B$。车厢中点$O^{\prime }$$O'$处有一光源，当其与地面固定点$O$$O$重合瞬间，发出一个闪光（或光脉冲）。车厢内$O^{\prime }$$O'$点站着一个爱因斯坦小人（即一极强的小人，可以看见一切事件，并准确记录观测到时间）甲，地面上$O$$O$点站着爱因斯坦小人乙。 让我们先用理论分析一下这两个小人会看到啥：

甲的观测：（$S^{\prime }$$S'$系）光速为$c$$c$且$O^{\prime }A=O^{\prime }B$$O'A=O'B$ 向前向后的两个光脉冲“同时”到达车头$A$$A$和车尾$B$$B$。 故甲观测到两束光脉冲“同时”到A和B。

乙的观测：（$S$$S$系）光速为$c$$c$且$O^{\prime }$$O'$发光瞬间与$O$$O$重合。 $A$$A$向$O$$O$运动，$B$$B$背向$O$$O$运动。 由于光速不受光源的运动影响，故乙观测到光脉冲先到$A$$A$，后到$B$$B$。

如果我们把条件略做更改，让车厢放在地面上静止不动，让小人甲以极快的速度掠过车厢上空，并当甲所在的$O^{\prime }$$O'$点位于$AB$$AB$中点$O$$O$时发出一个闪光。这时甲会观测到光脉冲先到$B$$B$，后到$A$$A$，而乙则会观测到两束光脉冲“同时”到$A$$A$和$B$$B$。

这样的话，事情就变得有意思了起来：我们看来明明$A$$A$和$B$$B$接收到光脉冲所需的时间是固定的，但是不同参考系内观测到的结果却不同。当然，解决这个问题我们只需要看看某个参考系中要多考虑些什么。

通过对比第一个情景中的甲乙两人，不难发现小人乙多考虑了光传播所需要的时间，因为车厢足够长，光行走的时间也变得不容忽视。

补注：如果把闪光想象成两个运动的小球会更好理解。

2.2.2 结论

在一个参考系中，同时发生在不同地点的两个事件，在另一个参考系中可能并不同时。其原因很明显：看到“同时”依赖于光信号，但是光速并不是无穷大。

3.1 爱因斯坦延缓（钟慢效应）

3.1.1 具体推导过程

爱因斯坦车厢，高$h$$h$，沿$x\text{轴}$$x轴$正方向高速运动，有一光脉冲从车厢底部发出，在车厢顶部反射回车厢底部。 $S^{\prime }\text{系}$$S'系$中，光脉冲上下往返所需时间间隔为$\mathrm{\Delta }t={\displaystyle \frac{2h}{c}}$$\Delta t=\displaystyle\frac{2h}{c}$ $S\text{系}$$S系$中，使用速度乘以时间计算出光脉冲走过的路程为$s={\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }·c}$$s=\displaystyle\frac{1}{2}\Delta t'·c$

使用勾股定理计算出光脉冲走过的路程为$s^{\prime }={\displaystyle \sqrt{(\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }t·c{)}^2+(\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }·u{)}^2}}$$s'=\displaystyle\sqrt{(\frac{1}{2}\Delta t·c)^2+(\frac{1}{2}\Delta t'·u)^2}$

由于光在同一个参考系内运动路程相同，即$s=s^{\prime }$$s=s'$

⇒${\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }·c=\sqrt{(\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }t·c{)}^2+(\frac{1}{2}\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }·u{)}^2}}$$\displaystyle{\frac{1}{2}\Delta t'·c=\sqrt{(\frac{1}{2}\Delta t·c)^2+(\frac{1}{2}\Delta t'·u)^2}}$

⇒${\displaystyle \mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\frac{2h}{c\sqrt{1-{\displaystyle \frac{u^2}{c^2}}}}=\frac{\mathrm{\Delta }t}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{u^2}{c^2}}}}}$$\displaystyle{\Delta t'=\frac{2h}{c\sqrt{1-\displaystyle\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{\Delta t}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{u^2}{c^2}}}}$

因为任何物体运动速度都无法超越光速，所以$u<c$$u<c$

⇒${\displaystyle \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}<1}$$\displaystyle\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}<1$

⇒$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }>\mathrm{\Delta }t$$\Delta t'>\Delta t$

从这个式子中我们可以发现在$S^{\prime }\text{系}$$S'系$中，时间流逝比$S\text{系}$$S系$慢，即运动的时钟会走得慢，又称钟慢效应 我们令${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\displaystyle \frac{u^2}{c^2}}}}=\gamma }$$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\displaystyle\frac{u^2}{c^2}}}=γ$，又称洛伦兹因子

因为${\displaystyle \sqrt{1-{\displaystyle \frac{u^2}{c^2}}}<1}$$\displaystyle\sqrt{1-\displaystyle\frac{u^2}{c^2}}<1$即${\displaystyle \frac{1}{\gamma }<1}$$\displaystyle\frac{1}{γ}<1$ 所以$\gamma >1$$γ>1$

$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\gamma ·\mathrm{\Delta }t$$\Delta t'=γ·\Delta t$

p.s. $\gamma$$γ$（洛伦兹因子）这个东西还是十分有用的，以后几章里会比较详细地讲解$\gamma$$γ$的具体用途和意义

$\mathrm{\Delta }t$$\Delta t$为某参考系中同一地点两事件的时间间隔，称为本征时间，有教材称作原时间或固有时间（我个人还是比较喜欢叫做本征时间）

3.1.2 例题

例一：μ子的子生巅峰

宇宙射线进入大气层，与大气分子碰撞，产生$\mu$$μ$子，$\mu$$μ$子产生后高速向地球移动，速度$u=0.998c$$u=0.998c$，$\mu$$μ$子静止时寿命约为$2.15\times {10}^{-6}$$2.15×10^{-6}$，试问为何$\mu$$μ$子能穿过$9km$$9km$的大气，使我们能在地面上观测到？

分析： 按照经典物理：$d=ut=0.998\times (3\times {10}^8)\times 2.15\times {10}^{-6}=643.71m$$d=ut=0.998×(3×10^8)×2.15×10^{-6}=643.71m$ 这样算下来这颗可怜的$\mu$$μ$子飞了不到$700m$$700m$就湮灭没了。

这当然不对了。这速度$0.998c$$0.998c$，一看就知道经典物理肯定要有“误差”，那就用相对论物理试试。 考虑钟慢效应： 在$\mu$$μ$子参考系中：$\mathrm{\Delta }{t}_0=2.15\times {10}^{-6}$$\Delta t_0=2.15×10^{-6}$ 在地面参考系中：$\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=\gamma ·\mathrm{\Delta }{t}_0={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{t}_0}{\sqrt{\frac{u^2}{c^2}}}={\displaystyle \frac{2.15\times {10}^{-6}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\approx 3.4\times {10}^{-5}}}$$\Delta t'=γ·\Delta t_0=\displaystyle\frac{\Delta t_0}{\sqrt{\frac{u^2}{c^2}}}=\displaystyle\frac{2.15×10^{-6}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}≈3.4×10^{-5}$

$d=u·\mathrm{\Delta }{t}_0=0.998\times (3\times {10}^8)\times 3.4\times {10}^{-5}=10179.6m$$d=u·\Delta t_0=0.998×(3×10^8)×3.4×10^{-5}=10179.6m$ 这下就对了嘛，$\mu$$μ$子在它生命的开始也是最后的$2.15\times {10}^{-6}s$$2.15×10^{-6}s$内还有机会从大气层出发，来到地球表面，达到子生巅峰！多么励志的故事啊！一定要用来教育小朋友

由上文可知，运动的钟走的越慢，那运动的我们手上的表肯定也越慢啦。一千米的成绩应该以我们手上的表为准才对（毕竟要以学生的参照系为准嘛）。下面的这个情景就能让你深刻体会到你的表慢了多少。

例二：$SR-71$$SR-71$黑鸟战斗机

$SR-71$$SR-71$黑鸟战斗机（相信某些同学多少听说过，是冷战时期最著名的一款侦察机），假设一直以速度$u=900m/s$$u=900m/s$做匀速直线运动，以地面为参考系。求飞机飞行多久飞机上飞行员的手表会比地面上的钟慢一秒？（假设在理想环境中，不计油耗，且飞行员携带的手表和地面上的钟都绝对准确） 解：设飞行员参考系经过的时间为$\mathrm{\Delta }{t}_0$$\Delta t_0$， 地面参考系经过的时间为$\mathrm{\Delta }t$$\Delta t$

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }t& =\gamma ·\mathrm{\Delta }{t}_0\\ \mathrm{\Delta }t& -\mathrm{\Delta }{t}_0=1\end{array}\end{array}$$\left\{ \begin{aligned} \Delta t&=γ·\Delta t_0\\ \Delta t&-\Delta t_0=1\\ \end{aligned} \right.$

$\begin{array}{rl}\Rightarrow \mathrm{\Delta }t& =\gamma ·(\mathrm{\Delta }t-1)\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }t& ={\displaystyle \frac{1}{\gamma -1}\approx 2.22\times {10}^{11}\approx 2572016\text{天}\approx 7041\text{年}361\text{天}}\end{array}$$\begin{aligned} ⇒\Delta t&=γ·(\Delta t-1)\\ ⇒\Delta t&=\displaystyle\frac{1}{γ-1}≈2.22×10^{11}≈2572016天≈7041年361天 \end{aligned}$

不错不错，也就七千多年嘛（假设有一群人，个个都能活到100岁，他们一个死了另一个紧接着出生，也就70个人就能解决了）。

例三：跑步时相对论的运用

那回到我们最开始的问题，跑步也是这样吗？废话。

我们还是看一下那个洛仑兹因子$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}}$$γ=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$，本身人跑的速度相对于光速就很小了，再平方一下，这数字不用四舍五入直接约等于0啊，用1减去它，再开个根……总之$\gamma =1$$γ=1$就完事了，得出$\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }{t}_0$$\Delta t=\Delta t_0$。

当然，秉持着科学的研究态度，我们还是算一下你手上的表会慢多少吧。

首先估测一下跑步速度，我作为我们班一千米第一名常年稳定在三分半左右（2022年补：现在我老了，只能3分45了）。 就算是四分半吧，$v={\displaystyle \frac{s}{t}={\displaystyle \frac{1000m}{270s}\approx 4m/s}}$$v=\displaystyle\frac{s}{t}=\displaystyle\frac{1000m}{270s}≈4m/s$（四舍五入一下好算点） $\begin{array}{rl}\gamma & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-\frac{4^2}{c^2}}}}\end{array}$$\begin{aligned}γ&=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\&=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{4^2}{c^2}}}\end{aligned}$ 由于普通计算器精度不高，于是我就用Node.js REPL计算了一下。虽然精度也不高 不多不多！多乎哉？不多也。

所以说，用相对论解低速问题好像并没有什么意义，就没有必要和体育老师争这么五十亿亿分之一秒了吧。以后和同学装B的时候挑一些大点的数据算（记得别超过光速$3\times {10}^{8}m/s$$3×10^8m/s$！）。

例四：参考系

在某参考系中，两事件同地发生，该参考系中时钟测得两事件发生时间间隔为4s。另一参照系中，测得这两个事件时间间隔为5s，求这两个参照系的相对速度。 解：$\mathrm{\Delta }t$$\Delta t$为本征时间 $\mathrm{\Delta }t=\gamma ·\mathrm{\Delta }{t}_0$$\Delta t=γ·\Delta t_0$ $\begin{array}{rl}\gamma ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }t}{\mathrm{\Delta }{t}_0}}& =\frac{5}{4}\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}}& =\frac{5}{4}\end{array}$$\begin{aligned}γ=\displaystyle\frac{\Delta t}{\Delta t_0}&=\frac{5}{4}\\ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}&=\frac{5}{4}\end{aligned}$ $\Rightarrow u=0.6c$$⇒u=0.6c$

例五：飞船

飞船以速度$u=0.8c$$u=0.8c$离开地球，并先后发出两个光信号，地球观测者接收到两个信号的时间间隔为$12s$$12s$。问飞船上宇航员发出这两个光信号的时间间隔为多少？ 解： 取地球$S\text{系}$$S系$，飞船$S^{\prime }\text{系}$$S'系$ 飞船上测得本征时间$\mathrm{\Delta }{t}_0$$\Delta t_0$ 在$S\text{系}$$S系$中，两事件时间间隔$\mathrm{\Delta }t=\gamma ·\mathrm{\Delta }{t}_0$$\Delta t=γ·\Delta t_0$ 考虑到飞船远离地球，在$\mathrm{\Delta }t$$\Delta t$的时间内，飞船飞行$u·\mathrm{\Delta }t$$u·\Delta t$，即${\displaystyle \frac{u·\mathrm{\Delta }t}{c}}$$\displaystyle\frac{u·\Delta t}{c}$为光信号传播的时间。 $\begin{array}{rl}12& =\mathrm{\Delta }t+{\displaystyle \frac{u·\mathrm{\Delta }t}{c}}\\ \Rightarrow 12& =\gamma ·\mathrm{\Delta }{t}_0+\frac{u}{c}·\gamma ·\mathrm{\Delta }{t}_0\\ \mathrm{\Delta }{t}_0& =\frac{12}{(1+\frac{u}{c})·\gamma }={\displaystyle \frac{12}{(1+\frac{u0.8c}{c})·\frac{1}{0.6}}=4s}\end{array}$$\begin{aligned} 12&=\Delta t+\displaystyle\frac{u·\Delta t}{c}\\ ⇒12&=γ·\Delta t_0+\frac{u}{c}·γ·\Delta t_0\\ \Delta t_0&=\frac{12}{(1+\frac{u}{c})·γ}=\displaystyle\frac{12}{(1+\frac{u0.8c}{c})·\frac{1}{0.6}}=4s \end{aligned}$

3.2 飞船运动的例子

正式讨论双生子详谬论之前我们先看几个情景：

3.2.1 情景

情景一：飞船远离地球

飞船远离地球，速度$u=0.8c$$u=0.8c$。 飞船上宇航员间隔$4s$$4s$发出两个闪光，求地球观测者接收到闪光的时间间隔。

解：设本征时间$\mathrm{\Delta }{t}_0=4s$$\Delta t_0=4s$ 注：一般性解题先求出$\gamma$$γ$，因为$\gamma$$γ$在解题中会经常被用到。 $\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{5}{3}}$$γ=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{5}{3}$

地球时间间隔$\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }{t}_0·\gamma$$\Delta t=\Delta t_0·γ$

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }& =\mathrm{\Delta }t+{\displaystyle \frac{u·\mathrm{\Delta }t}{c}}\\ & =\mathrm{\Delta }t·(1+\frac{u}{c})\\ & =\mathrm{\Delta }t·(1+0.8)\\ & =\mathrm{\Delta }{t}_0·\gamma ·1.8\\ & =12s\end{array}$$\begin{aligned} \Delta t'&=\Delta t+\displaystyle\frac{u·\Delta t}{c}\\ &=\Delta t·(1+\frac{u}{c})\\ &=\Delta t·(1+0.8)\\ &=\Delta t_0·γ·1.8\\ &=12s \end{aligned}$

情景二：飞船返回地球

飞船返回地球，其余同上。 速度$u$$\,u\,$依然为$0.8c$$0.8c$。 飞船上宇航员间隔$4s$$4s$发出两个闪光，求地球观测者接收到闪光的时间间隔。

解：设本征时间$\mathrm{\Delta }{t}_0=4s$$\Delta t_0=4s$

$\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{5}{3}}$$γ=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{5}{3}$

$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }t& =\mathrm{\Delta }{t}_0·\gamma \\ \mathrm{\Delta }{t}^{\prime }& =\mathrm{\Delta }t-\frac{u·\mathrm{\Delta }t}{c}\\ & =\mathrm{\Delta }t·(1-\frac{u}{c})\\ & =\mathrm{\Delta }t·(1-0.8)\\ & =\mathrm{\Delta }{t}_0·\gamma ·0.2\\ & \approx 1.33s\end{array}$$\begin{aligned} \Delta t&=\Delta t_0·γ\\ \Delta t'&=\Delta t-\frac{u·\Delta t}{c}\\ &=\Delta t·(1-\frac{u}{c})\\ &=\Delta t·(1-0.8)\\ &=\Delta t_0·γ·0.2\\ &≈1.33s \end{aligned}$

情景三：收发邮件

飞船速度$u=0.8c$$u=0.8c$，飞向离地球$8$$8$光年的天体，飞船到达后立即返回。

对地球参考系飞船，飞船往返 ${\displaystyle \frac{2\times 8\text{光}\text{年}}{0.8c}=20\text{年}}$$\displaystyle\frac{2×8光年}{0.8c}=20年$

与此对应，飞船时钟经过 ${\displaystyle \frac{20\text{年}}{\gamma }=\frac{20\text{年}}{\frac{1}{0.6}}=12\text{年}}$$\displaystyle\frac{20年}{γ}=\frac{20年}{\frac{1}{0.6}}=12年$

那问题就出现了，在飞船参照系内，地球是运动的，那为什么不是地球时钟减缓而飞船时钟不变呢？ 其实这很好解释：飞船有加速，所以不是惯性参考系。飞船时钟“绝对地”比地球时钟慢。 接下来我们假设这艘飞船上的宇航员按照飞船时钟每隔一年用电磁波向地球发送一封E-mail（电磁波传播速度等于光速$c$$c$） 飞船离开地球时，地球接收间隔为 $\mathrm{\Delta }t+{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }t·u}{c}=\mathrm{\Delta }{t}_0·\gamma ·(1+\frac{u}{c})=3·\mathrm{\Delta }{t}_0=3\text{年}}$$\Delta t+\displaystyle\frac{\Delta t·u}{c}=\Delta t_0·γ·(1+\frac{u}{c})=3·\Delta t_0=3年$ 飞船返回地球时，地球接收间隔为 $\mathrm{\Delta }t-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }t·u}{c}=\mathrm{\Delta }{t}_0·\gamma ·(1-\frac{u}{c})=\frac{1}{3}·\mathrm{\Delta }{t}_0=\frac{1}{3}\text{年}}$$\Delta t-\displaystyle\frac{\Delta t·u}{c}=\Delta t_0·γ·(1-\frac{u}{c})=\frac{1}{3}·\Delta t_0=\frac{1}{3}年$

飞船离开地球时： 飞船钟：6年后到达该天体 地球钟：10年后到达该天体。如果地球上有一个可见光超级望远镜，则可以在18年后“观测”到飞船到达该天体，此时共接收到6封E-mail，能看到宇航员在10年时间内缓慢变老6岁。

飞船返回地球时： 飞船钟：6年后到达地球 地球钟：10年后到达该天体。如果地球上有一个可见光超级望远镜，则可以在2年后“观测”到飞船到达地球，此时仍然共接收到6封E-mail，能看到宇航员在2年时间内快速变老6岁。

不过不管怎么说，宇航员变老的速度都比地球上慢。所以想要永葆青春的同学，懂了吧（是不可能的）。 那我们再回到E-mail的问题上，若地球上的人按地球钟每年发一封E-mail，则 飞船离开地球时：飞船每3年接收一封邮件。 飞船返回地球时：飞船每$\frac{1}{3}$$\frac{1}{3}$年接收一封邮件。

按照飞船钟，飞船单程6年，去时收到2封邮件，回程收到18封邮件。

3.2.2 结论

其实能发现：这类题型就类似小学奥数中的相遇追及问题，并没有我们想象中那么复杂。

再深入分析后你能发现：运动物体的视觉形象和测量形象“钟慢”（即爱因斯坦延缓）

这里要说明一下：视觉形象即指观测者观测到的不做任何计算的现象；测量形象大概就是指有一排非常精确的静止的钟排在物体将要经过的轨迹上，在物体经过钟时的读数；钟慢指运动物体参照系内钟比静止钟走的慢。

构成“视觉形象”的是来自不同时空点，被同一名观测者接收的光信号，会受到光传播的音响。所以会出现飞船离去时视觉形象比测量形象慢，返回时视觉形象比测量形象快的现象。

好了，扯了那么多接下来我们正式讲一下双生子详谬论

3.3 双生子佯谬论

其实双生子佯谬论并没有名字看上去那么诡异，只是一个在钟慢效应的基础上出现的一个有意思的现象。它是由法国物理学家P．朗之万用双生子实验来质疑狭义相对论的时间膨胀效应的思想实验。原本是指有一对双胞胎，其中一个乘坐光速飞船去外太空旅行，几十年后返回地球，当兄弟两人再相见时，在地球上等的那人已经白发苍苍，但是太空旅行的那人依然年轻。

这其实没啥好奇怪的，但对几百年前的人来说就是胡说，在学习了狭义相对论后我相信你们就不会再对着那些营销号发出wow之类的感叹了。

4.1 费兹杰惹—洛伦兹收缩（长度的相对性）

首先我们思考一下：测量一个高速运动的物体，你应该怎么做。 答案可能有两种 第一种：追上去量，当你和待测物体的相对速度为0时，就能非常容易的测量出该物体长度。 第二种：当运动物体经过静止尺时，读出读数。 但是仔细一想不难发现：如果运动物体长度的确会缩短的话，第一种方法中追上去量，用于测量的尺也会缩短，无法达到实验目的。 所以说最合理的方法是，记录下物体两端“同时”的位置，然后再测量他们的距离

4.1.1 情景

一直尺（$S^{\prime }\text{系}$$S'系$）相对地面（$S\text{系}$$S系$）以速度$u$$u$向右运动，尺的左端$A^{\prime }$$A'$发出闪光，经尺的右端$B^{\prime }$$B'$反射，回到$A^{\prime }$$A'$ 对于$S^{\prime }$$S'$系，光脉冲往返时间$\mathrm{\Delta }{t}_0={\displaystyle \frac{2h}{c}}$$\Delta t_0=\displaystyle\frac{2h}{c}$ 对于$S$$S$系 光脉冲往：$l+u·\mathrm{\Delta }{t}_1=c·\mathrm{\Delta }{t}_1\Rightarrow \mathrm{\Delta }{t}_1={\displaystyle \frac{l}{c-u}}$$l+u·\Delta t_1=c·\Delta t_1⇒\Delta t_1=\displaystyle\frac{l}{c-u}$ 光脉冲返：$l-u·\mathrm{\Delta }{t}_2=c·\mathrm{\Delta }{t}_2\Rightarrow \mathrm{\Delta }{t}_2={\displaystyle \frac{l}{c+u}}$$l-u·\Delta t_2=c·\Delta t_2⇒\Delta t_2=\displaystyle\frac{l}{c+u}$ 所以在$S$$S$系中，光脉冲往返时间为： $\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }{t}_1+\mathrm{\Delta }{t}_2={\displaystyle \frac{2cl}{c^2-u^2}}$$\Delta t=\Delta t_1+\Delta t_2=\displaystyle\frac{2cl}{c^2-u^2}$ 若考虑时间膨胀，$\mathrm{\Delta }{t}_0$$\Delta t_0$为本征时间 则有 $\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }{t}_0·\gamma \\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{2cl}{c^2-u^2}=\frac{2l_0}{c}·\gamma }\\ \Rightarrow {\displaystyle \frac{c^2}{c^2-u^2}·l=l_0·\gamma }\\ \Rightarrow \frac{1}{1-\frac{u^2}{c^2}}·l=l_0·\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\ \Rightarrow l=l_0·\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}=\frac{l_0}{\gamma }\end{array}$$\Delta t=\Delta t_0·γ\\ \Rightarrow\displaystyle\frac{2cl}{c^2-u^2}=\frac{2l_0}{c}·γ\\ \Rightarrow\displaystyle\frac{c^2}{c^2-u^2}·l=l_0·γ\\ \Rightarrow\frac{1}{1-\frac{u^2}{c^2}}·l=l_0·\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\\ \Rightarrow l=l_0·\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}=\frac{l_0}{γ}$

4.1.2 结论

在$S\text{系}$$S系$中测量$S^{\prime }\text{系}$$S'系$（运动）的物体长度缩短了 $l_0$$l_0$为相对参考系静止的尺的度 和本征时间一样，我们定义它为本征长度，或静长 其次，由相对性原理，运动的尺测量静止的物体（当然没人会这么干），测量结果会比静止时长 学会了那我们就做几道练习加深记忆吧

4.1.3 例题

例题一：飞船

某星球距离地球6光年，一飞船以相对地球$u=0.6c$$u=0.6c$的速度飞向该天体，求该飞船测量得该天体与地球的距离，以及地球与飞船参考系中飞船单程所需的时间。 解： 老规矩，先求$\gamma$$γ$ $\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{1}{0.8}=1.25}$$γ=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{1}{0.8}=1.25$ 在$S^{\prime }\text{系}$$S'系$中，$l^{\prime }={\displaystyle \frac{l_0}{\gamma }=\frac{6}{1.25}=4.8\text{光}\text{年}}$$l'=\displaystyle\frac{l_0}{γ}=\frac{6}{1.25}=4.8光年$ 在$S^{\prime }\text{系}$$S'系$中，$\mathrm{\Delta }{t}_0={\displaystyle \frac{4.8\text{光}\text{年}}{0.6c}=8\text{年}}$$\Delta t_0=\displaystyle\frac{4.8光年}{0.6c}=8年$ 在$S\text{系}$$S系$中，$\mathrm{\Delta }t={\displaystyle \frac{6\text{光}\text{年}}{0.6c}=10\text{年}}$$\Delta t=\displaystyle\frac{6光年}{0.6c}=10年$

例题二：宇宙列车

有一在太空中的太空列车（废话，不在太空中在哪里？）静长$l_0=3\times {10}^{8}m$$l_0=3×10^8m$，高速掠过一个静止的观察者，该观测者记录通过时间为$0.75\text{秒}$$0.75秒$，求列车的相对速度 这道题（我想出来）有三种方法，但只会详细讲两种 解： 法一： 在$S\text{系}$$S系$中，$0.75\text{秒}$$0.75秒$为本征时间 $\mathrm{\Delta }{t}_0=0.75=\frac{3}{4}$$\Delta t_0=0.75=\frac{3}{4}$ 车长：$l={\displaystyle \frac{l_0}{\gamma }=l_0·\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$$l=\displaystyle\frac{l_0}{γ}=l_0·\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$ 有${\displaystyle \frac{l_0·\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{u}=\frac{3}{4}\text{秒}}$$\displaystyle\frac{l_0·\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{u}=\frac{3}{4}秒$ $\Rightarrow u=0.8c$$⇒u=0.8c$

法二： 在$S^{\prime }$$S'$系中，观察者经过车头、车尾时间间隔 $\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }{t}_0·\gamma ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{t}_0}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}}$$\Delta t=\Delta t_0·γ=\displaystyle\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$ ${\displaystyle \frac{l_0}{u}=\frac{\mathrm{\Delta }{t}_0}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}}$$\displaystyle\frac{l_0}{u}=\frac{\Delta t_0}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}$ $\Rightarrow u=0.8c$$⇒u=0.8c$ 只要单纯地带公式就行了，感觉很简单是不是？

第三种方法就是使用间隔时间进行计算，在这就不加赘述了。

5.1 因果律

在本章中，我们会讨论一下因果关系，我们知道事件发生往往是先发生“因”，后发生“果”，但是相对论似乎给我们了一个因果倒置的可能性。本章中我们会探讨一下因和果之间的关系，并提及一些你可能相当感兴趣的时间反演（时间倒流）的问题

5.1.1 情景

长$100m$$100m$的车厢，以$u=0.6c$$u=0.6c$的速度驶过站台。有两人A和B分别站在车厢尾部和头部，各执一把手枪。两人开枪，站台上的人观测到A比B先开抢$0.125\mu s$$0.125μs$。问车厢上的乘客看来，谁先开枪？并求出开枪间隔。 分析： 设地面为$S\text{系}$$S系$，车厢为$S^{\prime }\text{系}$$S'系$ 设当A开枪时， $\begin{array}{rlrl}& S\text{系}\mathsf{\text{中}}& x_A=0& t_A=0\\ & S^{\prime }\text{系}\mathsf{\text{中}}& x_A^{\prime }=0& t_A^{\prime }=0\end{array}$$\begin{aligned} &S系\mathsf{中}\;&x_A=0\qquad&t_A=0\\ &S'系\mathsf{中}\;&x_A'=0\qquad&t_A'=0 \end{aligned}$ 设当B开枪时， $\begin{array}{rlrlrl}& S\text{系}\mathsf{\text{中}}& x_B& & t& {}_B=0.125\times {10}^{-6}s\\ & S^{\prime }\text{系}\mathsf{\text{中}}& x_B^{\prime }& =100& t& {}_B^{\prime }\end{array}$$\begin{aligned} &S系\mathsf{中}\; &x_B&\qquad &t&_B=0.125×10^{-6}s\\ &S'系\mathsf{中}\; &x_B'&=100 \qquad &t&_B' \end{aligned}$

整理一下得到这样的一张表：

$\begin{array}{rl}{t}_B& =(t_B^{\prime }+{\displaystyle \frac{u{x}_B^{\prime }}{c^2})·\frac{1}{0.8}}\\ 0.125\times {10}^{-6}& =(t_B^{\prime }+{\displaystyle \frac{0.6c\times 100}{c^2})·\frac{1}{0.8}}\end{array}$$\begin{aligned} t_B&=(t_B'+\displaystyle\frac{ux_B'}{c^2})·\frac{1}{0.8}\\ 0.125×10^{-6}&=(t_B'+\displaystyle\frac{0.6c×100}{c^2})·\frac{1}{0.8} \end{aligned}$

$\Rightarrow t_B^{\prime }=-0.1\times {10}^{-6}s=-0.1\mu s$$⇒t_B'=-0.1×10^{-6}s=-0.1μs$

故乘客观测到B先于A $0.1\mu s$$0.1μs$开枪

这就很有意思了，车外的人看到A先开枪，而车上的人看到B先开枪，那么如果A与B开枪的两个事件有因果关系，如A开枪B倒下，那车外的人将会看到怎样的景象？ 那我们再讨论一下： 若在$S\text{系}$$S系$中，A、B两事件有因果关系（$t_B>t_A$$t_B>t_A$）又能得到这样一张表：

在$S^{\prime }\text{系}$$S'系$中，将有： $t_A^{\prime }=(t_A-{\displaystyle \frac{u_{x_A}}{c^2})·\gamma }$$t_A'=(t_A-\displaystyle\frac{u_{x_A}}{c^2})·γ$ $t_B^{\prime }=(t_B-{\displaystyle \frac{u_{x_B}}{c^2})·\gamma }$$t_B'=(t_B-\displaystyle\frac{u_{x_B}}{c^2})·γ$

在$S^{\prime }$$S'$系中： $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }=t_B^{\prime }-t_A^{\prime }=[(t_B-t_A){\displaystyle \frac{u(x_B-x_A)}{c^2}]·\gamma }$$\Delta t'=t_B'-t_A'=[(t_B-t_A)\displaystyle\frac{u(x_B-x_A)}{c^2}]·γ$ 那么只要这坨 $t_A-t_B<[(t_B-t_A){\displaystyle \frac{u(x_B-x_A)}{c^2}]}$$t_A-t_B<[(t_B-t_A)\displaystyle\frac{u(x_B-x_A)}{c^2}]$ 即 $\mathrm{\Delta }{t}^{\prime }<0$$\Delta t'<0$ 因果就倒置了。

看到这里，想必一些头脑简单的同学十分激动，正想着如何回到过去挽回一些什么吧。 但 肯定没那么简单，不然这种方法早就公诸于世了 那具体是怎么一回事呢？ 我们设信号速度 $v={\displaystyle \frac{x_B-x_A}{t_B-t_A}}$$v=\displaystyle\frac{x_B-x_A}{t_B-t_A}$ 则：$t_A-t_B<{\displaystyle \frac{u}{c^2}(x_B-x_A)}$$t_A-t_B<\displaystyle\frac{u}{c^2}(x_B-x_A)$ $\Rightarrow {\displaystyle \frac{u}{c^2}·\frac{x_B-x_A}{t_B-t_A}>1}$$⇒\displaystyle\frac{u}{c^2}·\frac{x_B-x_A}{t_B-t_A}>1$ $\Rightarrow {\displaystyle \frac{u·v}{c^2}>1}$$⇒\displaystyle\frac{u·v}{c^2}>1$

只要$u>c$$\,u>c\,$或$v>c$$\,v>c\,$就能实现时间倒流了！是不是感觉很激动？！但是仔细一想，发现两个条件一个不能实现。 所以还是必然是前因后果，保证因果律的绝对性。

但是为什么前面一个例题中发生了因果倒置呢？ 当然是因为两件事情没有因果关系啊。 讲完了这些，我们再来做几道与因果律关系不大的练习夯实你的学习成果吧。

5.1.2 例题

地面上D点有一个发射台，其东、西两侧$l_0={10}^{3}cm$$\,l_0=10^3cm\,$处有两个接收站E、W，飞船以WE连线以$u=0.6c$$\,u=0.6c\,$飞行，此时，D点发出一个电磁脉冲，求飞船上的人观测到E、W两点接收到信号的时间间隔。 解：$u=0.6c\gamma ={\displaystyle \frac{1}{0.8}}$$u=0.6c\qquad γ=\displaystyle\frac{1}{0.8}$ 在$S$$S$系中，$\mathrm{\Delta }t=0$$\Delta t=0$ 在$S^{\prime }$$S'$系中， $\begin{array}{rl}{t}_E^{\prime }& =(t_E-{\displaystyle \frac{u·x_E}{c^2})·\gamma }\\ t_W^{\prime }& =(t_W-{\displaystyle \frac{u·x_W}{c^2})·\gamma }\\ \mathrm{\Delta }{t}^{\prime }& =t_W^{\prime }-t_E^{\prime }\\ & =[(t_W-t_E)+{\displaystyle \frac{u(x_E-x_W)}{c^2}]·\gamma }\\ & =(0+{\displaystyle \frac{u·2l_0}{c^2})·\gamma }\\ & =5\times {10}^{-3}s\\ & =5ms\end{array}$$\begin{aligned} t_E'&=(t_E-\displaystyle\frac{u·x_E}{c^2})·γ\\ t_W'&=(t_W-\displaystyle\frac{u·x_W}{c^2})·γ\\ \Delta t'&=t_W'-t_E'\\ &=[(t_W-t_E)+\displaystyle\frac{u(x_E-x_W)}{c^2}]·γ\\ &=(0+\displaystyle\frac{u·2l_0}{c^2})·γ\\ &=5×10^{-3}s\\ &=5ms \end{aligned}$（毫秒） ∴ 先到E，后到W

6.1 洛伦兹速度变换

6.1.1 推导过程

假设有两个参照系，其中$S$$S$系静止，$S^{\prime }$$S'$系以相对$S$$S$系$u$$u$的速度运动。在$t=t^{\prime }=0$$t=t'=0$时，$O$$O$与$O^{\prime }$$O'$重合，在$S^{\prime }$$S'$系​中物体沿$x^{\prime }$$x'$轴从$O^{\prime }$$O'$以速度$v^{\prime }$$v'$正向运动，经过时间$t^{\prime }$$t'$后，该物体到达$x^{\prime }=v^{\prime }{t}^{\prime }$$x'=v't'$，那么在$S$$S$系​中，该物体的运动速度为什么？ 这个问题需要讨论两个问题：位置的变换和时间的变换（即我们之前讲过的爱因斯坦延缓） 在$S$$S$系中： $\begin{array}{rl}x& =(v^{\prime }·t^{\prime }+u·t^{\prime })·\gamma =(v^{\prime }+u)·t^{\prime }·\gamma \\ t& =(t^{\prime }+{\displaystyle \frac{u}{c^2}{x}^{\prime })·\gamma }\\ & =(t^{\prime }+{\displaystyle \frac{u}{c^2}{v}^{\prime }·t^{\prime })·\gamma }\\ & =(1+{\displaystyle \frac{u}{c^2}{v}^{\prime })·t^{\prime }·\gamma }\end{array}$$\begin{aligned} x&=(v'·t'+u·t')·γ=(v'+u)·t'·γ\\ t&=(t'+\displaystyle\frac{u}{c^2}x')·γ\\ &=(t'+\displaystyle\frac{u}{c^2}v'·t')·γ\\ &=(1+\displaystyle\frac{u}{c^2}v')·t'·γ \end{aligned}$ 按照正常的速度=路程÷时间我们可以得出： $v={\displaystyle \frac{x}{t}=\frac{v^{\prime }+u}{1+{\displaystyle \frac{u}{c^2}{v}^{\prime }}}}$$v=\displaystyle\frac{x}{t}=\frac{v'+u}{1+\displaystyle\frac{u}{c^2}v'}$ 这就是洛伦兹速度变换逆变换 将这个式子翻一下即可得出正变换： $v^{\prime }={\displaystyle \frac{x^{\prime }}{t^{\prime }}=\frac{v^{\prime }-u}{1-{\displaystyle \frac{u}{c^2}{v}^{\prime }}}}$$v'=\displaystyle\frac{x'}{t'}=\frac{v'-u}{1-\displaystyle\frac{u}{c^2}v'}$ 那么如果$u\ll c$$u\ll c$（“$\ll$$\ll$”为远小于），${\displaystyle \frac{u}{c^2}}$$\displaystyle\frac{u}{c^2}$就会趋近于$0$$0$ 则$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}v=v^{\prime }+u\\ v^{\prime }=v-u\end{array}\end{array}$$\left\{ \begin{matrix} v=v'+u \\ v'=v-u \end{matrix} \right.$ 就是我们了解的伽利略变换体系了 那我们就不啰嗦了，直接给出

6.1.2 完整的洛伦兹速度变换公式

（$S^{\prime }\text{系}$$S'系$相对$S\text{系}$$S系$沿$x\text{轴}$$x轴$方向以速度$u$$u$运动）

既然得到了这惊天地泣鬼神的神奇公式，那我们就做几道例题，夯实你的学习成果吧

6.1.3 例题

例题一（纯套公式）

这道题是我很早以前就写好了的，并向我的一位同学讲了写本文的设想，他表示可以占个广告位，以下摘自我们当时的草稿：

XX空运公司飞机以$u=0.6c$$u=0.6c$相对地面飞行，XX快递，使命必达。飞机上，一XX挖掘机公司职员，就是专业，向前扔出一瓶XX饮料。XX饮料，一天一罐，让自然的智慧充满聪明的你…… ……emm……

飞船以$u=0.6c$$\,u=0.6c\,$相对地面飞行，宇航员向前发射了一颗子弹，相对船速$0.8c$$\,0.8c$，求地面观测到的子弹速度。 解： 像往常一样列一张表：

好了，做完了。

例题二（纯套公式）

两飞船甲、乙相向飞行，分别以相对地面$v_{\text{甲}}=0.6c$$v_甲=0.6c$与$v_{\text{乙}}=0.8c$$v_乙=0.8c$的速度运动，求甲观测到的乙飞船的速度 解： $v^{\prime }={\displaystyle \frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}·v}=\frac{(-0.8c)-(0.6c)}{1-\frac{0.8c}{c^2}·(0.8c)}\approx -0.946c}$$v'=\displaystyle\frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}·v}=\frac{(-0.8c)-(0.6c)}{1-\frac{0.8c}{c^2}·(0.8c)}≈-0.946c$

好了，也做完了。

例题三（送分题）

飞船$u=0.6c$$u=0.6c$，掠过地面，宇航员向飞船前后各发射一束激光，求地面观测到这两束激光的速度。 解： 好吧，我承认这题是来搞笑的，在 2.1 狭义相对论基本假设 中我们就讲过光速不变原理，所以激光速度肯定为$c$$c$ 不管怎样，我们来套一下公式： 飞船（$S^{\prime }\text{系}$$S'系$）中， 　　向前的激光 $v^{\prime }=c$$v'=c$ 　　向后的激光 $v{‘}^{\prime }=-c$$v‘’=-c$ 地面（$S\text{系}$$S系$）中， 　　向前的激光 $v={\displaystyle \frac{v^{\prime }+u}{1+\frac{u}{c^2}·v^{\prime }}=c}$$v=\displaystyle\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}·v'}=c$

　　向后的激光 $v={\displaystyle \frac{v^{″}+u}{1+\frac{u}{c^2}·v^{″}}=-c}$$v=\displaystyle\frac{v''+u}{1+\frac{u}{c^2}·v''}=-c$ 咳咳，所以这个公式是正确的至少没有与相对论本身相矛盾

例题四

在地面参考系内，有两飞船A、B 飞船A以$0.8c$$0.8c$的速度向北运动 飞船A以$0.6c$$0.6c$的速度向西运动 求飞船A相对飞船B的速度 解： 对地面（$S\text{系}$$S系$）来说： 　　A：$v_x=0$$v_x=0$　$v_y=0.8c$$v_y=0.8c$　B：$u=-0.6c$$u=-0.6c$ 对B（$S^{\prime }\text{系}$$S'系$）来说： 　　$v_x^{\prime }={\displaystyle \frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}{v}_x}=\frac{0-(-0.6c)}{1-\frac{-0.6c}{c^2}·0}=0.6c}$$v_x'=\displaystyle\frac{v-u}{1-\frac{u}{c^2}v_x}=\frac{0-(-0.6c)}{1-\frac{-0.6c}{c^2}·0}=0.6c$ 　　$v_y^{\prime }={\displaystyle \frac{v_y}{1-\frac{u}{c^2}{v}_x}·\frac{1}{\gamma }=0.64c}$$v_y'=\displaystyle\frac{v_y}{1-\frac{u}{c^2}v_x}·\frac{1}{γ}=0.64c$ 在高中里，你们（我现在是初中生）学过速度是一个矢量，合速度就是将两个分速度合成一下就好了。本题中的两个速度很友善地互相垂直，所以直接套勾股定理就好了： $v^{\prime }={\displaystyle \sqrt{v_x^{\prime 2}+v_y^{\prime 2}}\approx 0.877c}$$v'=\displaystyle\sqrt{v_x'^2+v_y'^2}≈0.877c$

7.1 光行差现象

首先，什么是光行差？

光行差（或称为天文光行差、恒星光行差）是指运动的观测者观察到光的方向与同一时间同一地点静止的观测者观察到的方向有偏差的现象。光行差现象在天文观测上表现得尤为明显。由于地球公转、自转等原因，地球上观察天体的位置时总是存在光行差，其大小与观测者的速度和天体方向与观测者运动方向之间的夹角有关，并且在不断变化。 ——摘自百度百科

感觉有点看不懂是吧，它的意思就差不多是在高速运动时你会看到些什么。 如果你看过（并且看完了）《三体》的三部曲（首先声明我不是三体粉，我只是单纯当作撤硕读物看的），你可能会记得有这么一个片段：

　　突然，宇宙发生了剧变，前方的所有星星都朝航向所指的方向聚集，仿佛这一半宇宙变成了一个黑色的大碗，群星都在向碗底滑落，很快在正前方聚成密密的一团，已经分辨不出单个的星星，它们凝成一个光团，像一块巨大的蓝宝石发出璀璨的蓝光。不时有零星的星星从光团中飞出，划过漆黑的空间快速向后飞去，它们的色彩不断变化，从蓝变成绿，再变成黄色，当它越过飞船后，则变成了红色。在飞船的后方，二维太阳系和群星一起凝聚成红色的一团，像在宇宙尽头熊熊燃烧的簧火。

但是这段到底科学性高不高呢？ 我们通过计算帮助你完全不能搞明白到底发生了一些什么。 像往常一样，我们通过一道例题来引入。

7.1.1 情景

假设在无穷远的竖直上方有一颗夜空中最亮的星，它的星光垂直射到地面上，飞船速度$u=0.8c$$u=0.8c$，平行于地面飞行，宇航员观测到的星光方位在哪里？ 解： 对地面（$S\text{系}$$S系$）来说：$v_x=0v_y=-c$$v_x=0\qquad v_y=-c$ 对飞船（$S^{\prime }\text{系}$$S'系$）来说：这两个数据就是我们要算的 代入洛伦兹速度变换公式得： $v_x^{\prime }={\displaystyle \frac{v_x-u}{1-\frac{v_x}{c^2}u}·\frac{1}{\gamma }=\frac{0-0.8c}{1-0}=-0.8c}$$v_x'=\displaystyle\frac{v_x-u}{1-\frac{v_x}{c^2}u}·\frac{1}{γ}=\frac{0-0.8c}{1-0}=-0.8c$ $v_y^{\prime }={\displaystyle \frac{v_y}{1-\frac{v_x}{c^2}u}·\frac{1}{\gamma }=\frac{-c}{1-0}·0.6=-0.6c}$$v_y'=\displaystyle\frac{v_y}{1-\frac{v_x}{c^2}u}·\frac{1}{γ}=\frac{-c}{1-0}·0.6=-0.6c$ 设方向角为$\theta$$θ$ $\tan \theta ={\displaystyle \left|\frac{v_x^{\prime }}{v_y^{\prime }}\right|=\frac{4}{3}}$$\tan{θ}=\displaystyle\left | \frac{v_x'}{v_y'}\right |=\frac{4}{3}$ 数据是凑好的看出来了吧 $\therefore \theta \approx 53°$$∴θ≈53°$ 这还是很不好理解，不要紧，我们想象一个场景： 我们假设你的眼睛只能看到正前方的一个点（像一个筒一样），如果要让竖直上方的一颗星的星光射到我的眼睛里，我们需要抬起头，让眼睛正对着星星。 但是如果我们以极快的速度跑起来，光子在落到筒底时会撞在筒壁上，这样我们就看不到这个光子了。 为了让光子竖直下落到筒底，我们需要让筒略略倾斜。

为啥我觉得我还是没解释清楚。

还不能理解我就不解释了，自己百度去。

所以开始时我们提到的《三体》的片段描写的还是相当正确的，至于星群的颜色变化主要是因为哈勃红移。（看来某些科幻小说还是挺有科学性的）（我是指某些科幻电影乱改编让没太大科学问题的原著被喷的很惨）

7.1.2 练习

飞船平行地面飞行$u=0.99c$$\,u=0.99c$，相对地面有星光与飞船夹角为$150°$$150°$。 问：宇航员观测到这颗星在何处？ 解： 地面（$S\text{系}$$S系$）　$v_x=\frac{\sqrt{3}}{2}c{v}_y=-\frac{1}{2}c$$v_x=\frac{\sqrt{3}}{2}c\qquad v_y=-\frac{1}{2}c$ 飞船（$S^{\prime }\text{系}$$S'系$）　$v_x^{\prime }=？v_y^{\prime }=？$$v_x'= ？\qquad v_y'= ？$ $v_x^{\prime }={\displaystyle \frac{v_x-u}{1-\frac{v_x}{c^2}·u}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}c-(0.99c)}{1-{\displaystyle \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}c}{c^2}·0.99c}}\approx -0.87c}$$v_x'=\displaystyle\frac{v_x-u}{1-\frac{v_x}{c^2}·u}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}c-(0.99c)}{1-\displaystyle\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}c}{c^2}·0.99c}≈-0.87c$ $v_y^{\prime }={\displaystyle \frac{v_y}{1-\frac{v_x}{c^2}u}·\frac{1}{\gamma }\approx -0.49c}$$v_y'=\displaystyle\frac{v_y}{1-\frac{v_x}{c^2}u}·\frac{1}{γ}≈-0.49c$ 代入$\tan \theta ={\displaystyle \left|\frac{v_x^{\prime }}{v_y^{\prime }}\right|}$$\tan{θ}=\displaystyle\left |\frac{v_x'}{v_y'}\right |$ 得：$\theta \approx {60.36}^{\circ }$$θ≈60.36^{\circ}$

8.1 相对论动力学基础

但在本章中，我会介绍著名的质能方程及其计算与运用。那我们就直接开始吧。

8.1.1 基本概念

比如有一个物体，当你把它放在地上不动时它的质量就是它应该有的质量即静质量$m_0$$m_0$。

质量膨胀

接下来，我们来推导一下动质量的公式（证明方法很多，这里分享一种据说是爱因斯坦用的使用动量守恒的比较简单的方法）： 假设有两个小球$a$$a$和$a^{\prime }$$a'$，质量都为$m_0$$m_0$，小球$a$$a$在$S\text{系}$$S系$中，小球$a^{\prime }$$a'$在$S^{\prime }\text{系}$$S'系$中，$S^{\prime }\text{系}$$S'系$相对$S\text{系}$$S系$沿$x$$x$轴正向以速度$v$$v$运动。 设$a^{\prime }$$a'$相对$S\text{系}$$S系$的质量为$m$$m$，根据相对性原理，$a$$a$相对$S^{\prime }\text{系}$$S'系$的质量也为$m$$m$。 假设两小球碰撞，并合为一体，相对$S^{\prime }\text{系}$$S'系$速度为$u^{\prime }$$u'$，相对$S\text{系}$$S系$速度为$u$$u$。 在两参照系中动量守恒定律当然都成立，所以得： 在$S\text{系}$$S系$中：$P=m·v=(m+m_0)u$$P=m·v=(m+m_0)u$ 在$S^{\prime }\text{系}$$S'系$中：$P=-m·v=(m+m_0)u^{\prime }$$P=-m·v=(m+m_0)u'$ 根据相对性原理得：$u^{\prime }=-u$$u'=-u$ 由速度合成公式$v_x={\displaystyle \frac{v^{\prime }+u}{1+\frac{u}{c^2}{v}^{\prime }}}$$v_x=\displaystyle\frac{v'+u}{1+\frac{u}{c^2}v'}$ 得：$({\displaystyle \frac{v}{u}{)}^2-2\frac{v}{u}+(\frac{v}{c}{)}^2=0}$$(\displaystyle\frac{v}{u})^2-2\frac{v}{u}+(\frac{v}{c})^2=0$ 解得:${\displaystyle \frac{v}{u}=1\pm \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$\displaystyle\frac{v}{u}=1±\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ 由于$v>u$$v>u$，故${\displaystyle \frac{v}{u}=1+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$\displaystyle\frac{v}{u}=1+\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$。 $\therefore m={\displaystyle \frac{m_0}{\frac{v}{u}-1}=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=m_0·\gamma }$$∴m=\displaystyle\frac{m_0}{\frac{v}{u}-1}=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=m_0·γ$ 我们整合一下，去掉复杂的背景：

是不是很通俗易懂？搞明白了我们就做一道题试试。

例题一：总能与静能

某粒子，其总能是静能的3倍，求该粒子的速度。 解：

智能方程

推导过程涉及部分微积分内容，看不懂的自觉绕行（所以日常生活中看到谁掏出个$E=m{c}^2$$E=mc^2$，我可以基本肯定地说他根本不知道这个式子的含义）

综上： 在相对论中，静能：$E_0=m_0{c}^2$$E_0=m_0c^2$ 　　　　　　动能：$E_k=m{c}^2-m_0{c}^2$$E_k=mc^2-m_0c^2$ 　　　　　　总能：$E_{}=E_0+E_k=m{c}^2$$E_{\ }=E_0+E_k=mc^2$

质量亏损

质量亏损主要是研究反应前后体系粒子质量的变化，即有质量转化为能量时的损耗，先举一个例子： 还是有一个物体，它在反应前后的两个状态所含有的能量： 初状态：$E_{\text{初}}=m_{0\text{初}}·c^2+E$$E_{初}=m_{0初}·c^2+E$ 末状态：$E_{\text{末}}=m_{0\text{末}}·c^2+E^{\prime }$$E_{末}=m_{0末}·c^2+E'$ （$E$$E$和$E^{\prime }$$E'$为该物体所含的各种能量，如内能、化学能、机械能等等） 由于能量守恒，可得：

你可能有了解到，理论上，核聚变反应的质能转化率为0.7%，核裂变则为0.135%，而正反物质湮灭则是100%，就是指被转化的质量占物体总质量的百分比。

例题二：核聚变

铀核裂变有3个的可能的方程式，我们这里以其中一个为例来计算：

给出$1mol$$\,1mol\,$各物质的质量，求$1mol{}_{92}^{235}\text{U}$$\,1mol\ {^{235}_{\ 92}}\text{U}\,$反应发出的能量

则该反应内 质量亏损$\mathrm{\Delta }m=0.215\text{克}$$\Delta m=0.215\text{克}$ 释放能量$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{\Delta }m·c^2=1.935\times {10}^{13}\text{J}$$\Delta E=\Delta m·c^2=1.935\times 10^{13}\text{J}$ 所以这么多能量大概有多少呢， 差不多是完全燃烧$650$$650$吨煤炭放出的能量吧（确实不太多）

例题三：太阳

太阳每秒向宇宙辐射$3.8\times {10}^{36}\text{J}$$\,3.8\times 10^{36}\text{J}\,$的能量，求太阳每秒的质量亏损。 解： $\mathrm{\Delta }m={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }t}{c^2}=\frac{3.8\times {10}^{36}}{{(3\times {10}^8)}^2}=4.2\times {10}^9\text{kg}}$$\Delta m=\displaystyle\frac{\Delta t}{c^2}=\frac{3.8\times 10^{36}}{\left (3\times 10^8\right )^2}=4.2\times 10^9\text{kg}$ 也就是说太阳每秒钟核聚变反应了$420$$420$万吨的燃料那可不，那不是烧了两天就烧没了？ 当然必然不是，现在科学家预测至少再少$50$$50$亿年才会烧完。

例题四：烧水

$5kg$$5kg$的水，由${20}^{\circ }\text{C}$$20^{\circ}\text{C}$加热到${100}^{\circ }\text{C}$$100^{\circ}\text{C}$，求这些水的质量增加量$\mathrm{\Delta }m$$\Delta m$ 这题就……怎么说呢……很有实用性…… 解： $\mathrm{\Delta }m·c^2=4200\times 5\times 80$$\Delta m·c^2=4200\times 5\times 80$ $\mathrm{\Delta }m=1.87\times {10}^{-11}kg$$\Delta m=1.87\times 10^{-11}kg$ 也就是$0.187$$0.187$微微克……

特别鸣谢

衷心感谢@SFKgroup指出如下几处错误，他还非常热心的把改好的HTML文件发给我（他可能并不知道他看到的那个版本是我用Typora写的然后导出为HTML）（以下摘自他在github issues中的原文，这个issues所在的repository被我一次手残清理掉了，在这里也向他表示道歉）：

1. 关于爱因斯坦钟慢效应的例题，题号有误，在原文与目录中都存在。
2. "μ子的子生巅峰"中"在地面参考系中"这一行结果科学记数法表示有误(应当为10的负5次方)
3. "黑鸟战斗机"中计算的结果天数应当为2572016天，换算为年数为7041年零361天，您没有计算闰年!
4. "飞船运动的例子"中所有的γ您都使用了(1/0.6)表示，但建议使用(5/3)表示
5. "光行差现象"的"练习"中最后的结果应当为60.36°，由于您过早地四舍五入导致结果出现了偏差
6. "跑步时相对论的运用"中"本身人跑的速度相对于光速就很小了，再开个平方，这数字不用四舍五入直接约等于0啊"应当表示为"本身人跑的速度相对于光速就很小了，再平方一下，这数字不用四舍五入直接约等于0啊，用1减去它，再开个根"

后记

今天是2022年6月28日，距离我第一版的狭义相对论从入门到入土（建议初一以上）的发表已经过去了整整一年，我也并不成功地进入了高中。

怎么说呢，很感慨，但是又说不出来。

我从2021年1月12日开始撰写、2022年6月28日第一版完稿到现在已经过去了一年半了。

愿你出走半生，归来仍是少年。

请大家相信科学，相信时代，相信未来。

谢谢观看。